Demi-plan de Poincaré

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Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré (1882)[modifier | modifier le code]

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

Géométrie[modifier | modifier le code]

On considère le demi-plan supérieur :

{\mathcal {H}}_{2}=\left\{z=x+iy~|~y>0\right\}.

Métrique[modifier | modifier le code]

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

\mathrm {d} s^{2}={\frac {a^{2}\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)}{y^{2}}}.

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

R=-{\frac {1}{a^{2}}}.

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : $a$ = 1 pour simplifier les équations.

Géodésiques[modifier | modifier le code]

Les géodésiques^[1] sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : $x$ = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : $y$ = 0 (en bleu) :

Homographies[modifier | modifier le code]

Le groupe de matrices GL₂⁺(R) agit sur cet espace, par homographies^[2]. Plus précisément, soit $g$ un élément de GL₂⁺(R) :

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \mathrm {det} (g)=ad-bc>0.

Son action sur un point $z$ du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :

g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.

Groupes fuchsiens[modifier | modifier le code]

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Formes automorphes[modifier | modifier le code]

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Dynamique chaotique[modifier | modifier le code]

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.
↑ Le groupe GL₂⁺(R) est le sous-groupe de GL₂(R) formé par les matrices de déterminant positif.

[1] On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.

[2] Le groupe GL₂⁺(R) est le sous-groupe de GL₂(R) formé par les matrices de déterminant positif.

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