Équation de la chaleur

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Ici, l'équation de la chaleur en deux dimensions permet de voir que l'interaction entre deux zones de températures initiales différentes (la zone haute en rouge est plus chaude que la zone basse en jaune) va faire que la zone chaude va se refroidir graduellement, tandis que la zone froide va se réchauffer, jusqu'à ce que la plaque atteigne une température uniforme.

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, pour décrire le phénomène physique de conduction thermique, introduite initialement en 1811 par Jean Baptiste Joseph Fourier[1], après des expériences sur la propagation de la chaleur, suivies par la modélisation de l'évolution de la température avec des séries trigonométriques, appelés depuis séries de Fourier et transformées de Fourier, permettant une grande amélioration à la modélisation mathématique des phénomènes, en particulier pour les fondements de la thermodynamique, et qui ont entrainé aussi des travaux mathématiques très importants pour les rendre rigoureuses, véritable révolution à la fois physique et mathématiques, sur plus d'un siècle.

Cette équation est très présente en physique sous le nom générique d'équation de diffusion. On la retrouve dans la diffusion de masse dans un milieu binaire ou de charge électrique dans un conducteur, le transfert radiatif, etc. Elle est également liée à l'équation de Burgers et à l'équation de Schrödinger[2] .

Équation de la chaleur[modifier | modifier le code]

Soit un domaine de de frontière et un champ de température sur ce domaine. En présence d'une source thermique[3] dans le domaine, l'équation de la chaleur s'écrit :

  • est la conductivité thermique (en W/(m.K)), une quantité scalaire généralement fonction de la température. Elle peut également être un tenseur dans le cas de milieux anisotropes dont l'archétype est le graphite,
  • une éventuelle production volumique de chaleur (en W/m3),
  • est la masse volumique du matériau (en kg/m3),
  • la chaleur spécifique massique du matériau (en J/(kg⋅K)).

Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut en général spécifier :

  1. une condition initiale :  ;
  2. une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :
    • de Dirichlet :  ;
    • ou de Neumann : , où est le vecteur normal unitaire au point x.

Établissement de l'équation de la chaleur[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs approches, par exemple le bilan pour un volume de contrôle. On suit ici un raisonnement s'appuyant sur la thermodynamique et la loi de Fourier.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface entre et  :

on considère ici un système isochore par conséquent . De plus,

est une fonction du volume. Alors

On a aussi, par définition de (vecteur densité de flux de chaleur) et de la densité volumique de source de chaleur par unité de temps P (en W/m3) :

(note pour le signe : est positif quand le flux est vers l'extérieur, donc la variation de chaleur est alors négative dans le volume)

Avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :

donc :

or ceci est valable pour tout volume , donc :

En utilisant la loi de Fourier on obtient l'équation de la chaleur :

Si la conductivité ne dépend pas de la température, alors :

où :

  • (laplacien)
  • (coefficient de diffusion)

Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier[modifier | modifier le code]

L'une des premières méthodes de résolution de l'équation de la chaleur fut proposée par Joseph Fourier lui-même dans son traité Théorie analytique de la chaleur en 1822.

On considère le cas simplifié de l'équation en une dimension, qui peut modéliser le comportement de la chaleur dans une tige. L'équation s'écrit alors :

avec T = T(x, t) pour x dans un intervalle [0,L], où L est la longueur de la tige, et t ≥ 0.

On se donne une condition initiale :

et des conditions aux limites, ici de type Riemann homogènes :

.

L'objectif est de trouver une solution non triviale de l'équation, ce qui exclut la solution nulle. On utilise alors la méthode de séparation des variables en supposant que la solution s'écrit comme le produit de deux fonctions indépendantes :

Comme T est solution de l'équation aux dérivées partielles, on a :

Deux fonctions égales et ne dépendant pas de la même variable sont nécessairement constantes, égales à une valeur notée ici −λ, soit :

On vérifie que les conditions aux limites interdisent le cas λ ≤ 0 pour avoir des solutions non nulles :

  • Supposons λ < 0. Il existe alors des constantes réelles B et C telles que

Or les conditions aux limites imposent X(0) = 0 = X(L), soit B = 0 = C, et donc Test nulle.

  • Supposons λ = 0. Il existe alors de même des constantes réelles B, C telles que X(x) = Bx + C. Une fois encore, les conditions aux limites entraînent X nulle, et donc T nulle.

Il reste donc le cas λ > 0. Il existe alors des constantes réelles A, B, C telles que

Les conditions aux limites imposent maintenant C = 0 et qu'il existe un entier positif n tel que

On obtient ainsi une forme de la solution. Toutefois, l'équation étudiée est linéaire, donc toute combinaison linéaire de solutions est elle-même solution. Ainsi, la forme générale de la solution est donnée par

La valeur de la condition initiale donne :

On reconnait un développement en série de Fourier, ce qui donne la valeur des coefficients :

Généralisation[modifier | modifier le code]

Une autre manière de retrouver ce résultat passe par l'application de théorème de Sturm-Liouville et la décomposition de la solution sur la base des solutions propres de la partie spatiale de l'opérateur différentiel sur un espace vérifiant les conditions aux bords.

Dans le cas vu précédemment, cela revient à déterminer les solutions propres de l'opérateur sur l'espace des fonctions deux fois continûment dérivables et nulles aux bords de [0,L]. Les vecteurs propres de cet opérateur sont alors de la forme :

de valeurs propres associées

Ainsi, on peut montrer que la base des (en) est orthonormale pour un produit scalaire, et que toute fonction vérifiant f(0) = f(L) = 0 peut se décomposer de façon unique sur cette base, qui est un sous-espace dense de L2((0, L)). En continuant le calcul, on retrouve la forme attendue de la solution.

Problèmes inverses[modifier | modifier le code]

La solution de l'équation de la chaleur vérifie le principe du maximum suivant :

Au cours du temps, la solution ne prendra jamais des valeurs inférieures au minimum de la donnée initiale, ni supérieures au maximum de celle-ci.

L'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles stable parce que des petites perturbations des conditions initiales conduisent à des faibles variations de la température à un temps ultérieur en raison de ce principe du maximum. Comme toute équation de diffusion l'équation de la chaleur a un effet fortement régularisant sur la solution : même si la donnée initiale présente des discontinuités, la solution sera régulière en tout point de l'espace une fois le phénomène de diffusion commencé.

Il n'en va pas de même pour les problèmes inverses tels que :

  • équation de la chaleur rétrograde, soit le problème donné où on remplace la condition initiale par une condition finale du type ,
  • la détermination les conditions aux limites à partir de la connaissance de la température en divers points au cours du temps.

Ces problèmes sont mal posés et ne peuvent être résolus qu'en imposant une contrainte de régularisation de la solution.

Généralisations[modifier | modifier le code]

L'équation de la chaleur se généralise naturellement :

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Fourier Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 Jean Baptiste Joseph baron Fourier Chez Firmin Didot, père et fils, 1822 - http://books.google.fr/books?id=TDQJAAAAIAAJ&hl=fr
  2. Jean Zinn-Justin, Intégrale de chemin en mécanique quantique : introduction, EDP Sciences, (ISBN 978-2-86883660-1, lire en ligne)
  3. Par exemple, une source radioactive qui serait placée à l'intérieur du domaine ; il est possible d'introduire de telles sources d'énergie locales en ajoutant un terme à l'équation ; cf. l'article conduction thermique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]