Triple produit de Jacobi

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, le triple produit de Jacobi est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux.

Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors[1],[2]

.

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons et  ; le membre de droite est alors la fonction thêta :

.

Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant et , il se réécrit

,

où les sont des q-symboles de Pochhammer : .

Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en) (en posant q = ab et c = 1/b) : pour ,

.

Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler découle de ces formules en prenant et (ou et ). On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler[3],[4] :

.

On peut se servir du triple produit de Jacobi pour démontrer l'identité du quintuple produit (en)[5] :

.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve de George Andrews[6],[7] se reformule plus commodément dans le langage des q-analogues. En utilisant les deux identités d'Euler :

,

on obtient :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 364, th. 352.
  2. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (lire en ligne), chap. 14, p. 319, th. 14.6.
  3. Hardy et Wright 2007, p. 367, th. 353.
  4. Apostol 1976, p. 321.
  5. (en) L. Carlitz et M. V. Subbarao (en), « A simple proof of the quintuple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 32,‎ , p. 42-44 (lire en ligne).
  6. (en) George E. Andrews, « A simple proof of Jacobi's triple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 16,‎ , p. 333-334 (lire en ligne).
  7. (en) Victor Kac (en) et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne), p. 35-36.
  • Daniel Duverney, Théorie des nombres : cours et exercices corrigés, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 2e éd., 262 p. (ISBN 978-2-10-051234-8), p. 82-83, section 7.3

Articles connexes[modifier | modifier le code]