Triple produit de Jacobi

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En mathématiques, le triple produit de Jacobi est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux.

Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors[1],[2],[3],[4],[5]

.

Reformulations[modifier | modifier le code]

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons et  ; le membre de droite est alors la fonction thêta :

.

Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant et , il se réécrit

ou encore

,

où les sont des q-symboles de Pochhammer : .

Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en) (en posant q = ab et c = 1/b) : pour ,

.

Corollaires[modifier | modifier le code]

Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler se déduit du triple produit de Jacobi en prenant et dans . On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler[6],[7] :

.

En prenant dans , on obtient :

.

On peut se servir du triple produit de Jacobi pour démontrer l'identité du quintuple produit (en)[8] :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi triple product » (voir la liste des auteurs).

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], p. 364, th. 352.
  2. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, , chap. 14, p. 304-328, th. 14.6.
  3. (en) Victor Kac (en) et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne), p. 35-36
  4. (en) Daniel Duverney, Number Theory, World Scientific (en), (lire en ligne), p. 104-105.
  5. Une démonstration de l'identité formelle, reposant sur les deux identités d'Euler, figure dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur la Wikiversité.
  6. Hardy et Wright, p. 367, th. 353.
  7. Apostol 1976, p. 321.
  8. (en) L. Carlitz et M. V. Subbarao (en), « A simple proof of the quintuple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 32,‎ , p. 42-44 (lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]