Triple produit de Jacobi

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En mathématiques, le triple produit de Jacobi est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux.

Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors[1],[2]

.

Reformulations[modifier | modifier le code]

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons et  ; le membre de droite est alors la fonction thêta :

.

Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant et , il se réécrit

ou encore

,

où les sont des q-symboles de Pochhammer : .

Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en) (en posant q = ab et c = 1/b) : pour ,

.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve de George Andrews[3],[4] se reformule plus commodément dans le langage des q-analogues. En utilisant les deux identités d'Euler :

,

on démontre  :

.

Corollaires[modifier | modifier le code]

Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler se déduit du triple produit de Jacobi en prenant et dans . On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler[5],[6] :

.

En prenant dans , on obtient :

.

On peut se servir du triple produit de Jacobi pour démontrer l'identité du quintuple produit (en)[7] :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 364, th. 352.
  2. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (lire en ligne), chap. 14, p. 304-328, th. 14.6.
  3. (en) George E. Andrews, « A simple proof of Jacobi's triple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 16,‎ , p. 333-334 (lire en ligne).
  4. (en) Victor Kac (en) et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne), p. 35-36.
  5. Hardy et Wright 2007, p. 367, th. 353.
  6. Apostol 1976, p. 321.
  7. (en) L. Carlitz et M. V. Subbarao (en), « A simple proof of the quintuple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 32,‎ , p. 42-44 (lire en ligne).
  • Daniel Duverney, Théorie des nombres : cours et exercices corrigés, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 2e éd., 262 p. (ISBN 978-2-10-051234-8), p. 82-83, section 7.3

Articles connexes[modifier | modifier le code]