Empilement de cercles dans un cercle

L'empilement de cercles dans un cercle est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre $n$ dans le cercle le plus petit possible.

Le tableau suivant présente une solution minimale (dans le cas où plusieurs solutions minimales existent, une seule variante apparaît dans le tableau)^[1] :

Nombre de cercles unités de nombre $n$	Rayon du cercle extérieur	Densité	Optimalité
1	1	1,0000	Trivial
2	2	0,5000	Trivial
3	$1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 2{,}154...$	0,6466...	Trivial
4	$1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414...$	0,6864...	Trivial
5	$1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}\approx 2{,}701...$	0,6854...	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)^[2]
6	3	0,6667...	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)^[2]
7	3	0,7778...	Trivial
8	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)}}\approx 3,304...$	0,7328...	Prouvé optimal par Pirl (1969)^[3]
9	$1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\approx 3,613...$	0,6895...	Prouvé optimal par Pirl (1969)^[3]
10	3,813...	0,6878...	Prouvé optimal par Pirl (1969)^[3]
11	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}\approx 3,923...$	0,7148...	Prouvé optimal par Melissen (1994)^[4]
12	4,029...	0,7392...	Prouvé optimal par Fodor (2000)^[5]
13	$2+{\sqrt {5}}\approx 4,236...$	0,7245...	Prouvé optimal par Fodor (2003)^[6]
14	4,328...	0,7474...	Conjecturé optimal^[7]
15	$1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}\approx 4,521...$	0,7339...	Conjecturé optimal^[7]
16	4,615...	0,7512...	Conjecturé optimal^[7]
17	4,792...	0,7403...	Conjecturé optimal^[7]
18	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,863...$	0,7611...	Conjecturé optimal^[7]
19	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,863...$	0,8034...	Prouvé optimal par Fodor (1999)^[8]
20	5,122...	0,7623...	Conjecturé optimal^[7]

Références[modifier | modifier le code]

↑ Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center
↑ ^{a et b} R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
↑ ^{a b et c} U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
↑ H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
↑ ^{a b c d e et f} Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

Liens externes[modifier | modifier le code]

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[1] Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center

[Graham68-2] {a et b} R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.

[Pirl-3] {a b et c} U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.

[Melissen-4] H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[Fodor1-5] F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.

[Fodor2-6] F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.

[Graham98-7] {a b c d e et f} Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.

[Fodor3-8] F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

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v · m Empilement
Empilement de cercles	Dans un cercle Dans un triangle équilatéral Dans un triangle isocèle rectangle Dans un carré Cercle d'Apollonius Théorème des empilements de cercles Problème de Tammes (sur une sphère)
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