Constante d'Apéry

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En mathématiques, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1977 que ce nombre est irrationnel (Théorème d'Apéry).

Cette constante était connue avec 128 000 026 décimales en 1998 [1], 1 000 000 000[2] en 2003 et jusqu'à 400 000 000 000 décimales en 2015[3]. Les 20 000 premières décimales sont rappelées par l'OEIS (voir suite A002117 de l'OEIS).

Occurrences[modifier | modifier le code]

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Transcendance[modifier | modifier le code]

Ce nombre est irrationnel, mais on ne sait pas s'il est transcendant[4].

Par comparaison, le nombre est transcendant, car

.

Cette égalité a été démontrée formellement par Leonhard Euler la première fois en 1735 (voir « Problème de Bâle »).

Forme fermée[modifier | modifier le code]

Par ailleurs, en 2013, il n'existe pas de forme fermée pour cette constante.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Sebastian Wedeniwski, Apery's constant to 128,000,026 decimal digits, message à Simon Plouffe, (1998) (en)[1]
  2. (en)numbers.computation.free.fr The Apery's constant : zêta(3)
  3. (en)dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record
  4. (en) Eric W. Weisstein, « Apéry's Constant », MathWorld.
  5. Frédéric Laroche, Promenades mathématiques, Ellipses, .

Articles connexes[modifier | modifier le code]