Fonction digamma

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Représentation de la fonction digamma ψ restreinte aux réels.
Représentation colorée de la fonction digamma, ψ(z), dans une région rectangulaire du plan complexe.


En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma :

Historique et notations[modifier | modifier le code]

À la suite des travaux d'Euler sur la fonction gamma, James Stirling a introduit la fonction digamma en 1730, en la notant par Ϝ, la lettre grecque digamma (majuscule)[réf. souhaitée]. Elle fut par la suite étudiée par Legendre, Poisson et Gauss vers 1810 ; la convergence de la série de Stirling pour cette fonction a été démontrée par Stern en 1847[1]. Elle est désormais le plus souvent notée par la lettre ψ (psi minuscule).

Motivation[modifier | modifier le code]

Considérant la fonction gamma comme une généralisation formelle de la factorielle (plus précisément, ), on en déduit tout aussi formellement, en utilisant les propriétés de la dérivée logarithmique, qu'on devrait avoir

Hn est le n-ième nombre harmonique.

La fonction digamma pourrait ainsi définir une généralisation des nombres harmoniques aux complexes. Une formule exacte pour ψ(n), confirmant presque le calcul précédent, sera obtenue plus bas rigoureusement pour n entier.

Propriétés[modifier | modifier le code]

C'est une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe privé des entiers négatifs.

La définition d'Euler de la fonction gamma sous forme intégrale montre que pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive,

Ainsi,

, où γ = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni.

Par ailleurs, donc on a (en dérivant) la relation de « récurrence »

en fait, le théorème de Bohr-Mollerup montre que la fonction digamma est la seule solution de l'équation fonctionnelle

qui est monotone sur R+ et qui vérifie F(1) = −γ.

On en déduit que la fonction digamma d'un entier n > 0, souvent notée aussi ψ0(n) ou même ψ(0)(n)[2], est reliée aux nombres harmoniques par

est le (n – 1)-ième nombre harmonique.

La fonction digamma satisfait également une formule de réflexion (en) similaire à celle de la fonction Gamma : pour tout nombre complexe z dont la partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1,

D'autres représentations par des intégrales existent. Ainsi, si la partie réelle de z est positive, on a :

qu'on peut aussi écrire

Représentation par des séries[modifier | modifier le code]

La relation de récurrence permet d'obtenir la formule suivante[3] :

La fonction digamma possède également une représentation en série zêta rationnelle :

(où ζ(n) est la fonction zêta de Riemann),

qui converge pour |z| < 1. Cette série se déduit aisément de la série de Taylor (en 1) de la fonction zêta de Hurwitz.

On déduit de la formule intégrale d'Euler le développement suivant en série de Newton (convergeant pour Re(s) > –1) :

est un coefficient binomial (généralisé) : .

Utilisation pour le calcul de sommes de séries[modifier | modifier le code]

La formule précédente, équivalente à

permet d'évaluer des séries de fractions rationnelles de la forme

p(n) et q(n) sont des polynômes en n : décomposant un en éléments simples (lorsque les racines de q sont toutes simples), on obtient

 ; la série converge si et donc si

Dans ce cas,

En particulier, on obtient

expression qui, d'après le théorème de Gauss, peut être explicitée si a et b sont rationnels ; par exemple,

[4]

Enfin, dans le cas où q admet des racines multiples, un passage à la limite fait apparaître les dérivées de la fonction digamma ; ainsi,

ψ1 est la fonction polygamma d'ordre 1.

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

La fonction digamma a des valeurs exprimables à l'aide des fonctions usuelles et de la constante d'Euler-Mascheroni pour des arguments rationnels, par exemple :


, etc.

De plus, la représentation par une série permet aisément de montrer qu'à l'unité imaginaire, on a

coth est la fonction cotangente hyperbolique.

Un théorème de Gauss[modifier | modifier le code]

Plus généralement, pour des entiers positifs r et m (avec r < m), la fonction digamma s'exprime à l'aide de la constante d'Euler et d'un nombre fini de fonctions élémentaires :

la relation de récurrence permet d'en déduire sa valeur pour tous les arguments rationnels[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Historique de la fonction digamma sur le site de Wolfram Research.
  2. C'est un cas particulier de la notation ψk(n) des fonctions polygamma.
  3. (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 6.3 (« psi (Digamma) Function. »), p. 258–259 : formule 6.3.16.
  4. (en) Une étude de ces sommes, sur MathOverflow.
  5. R. Campbell, Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.