Constante de Gauss

En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de 2 :

$G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}\approx 0{,}8346268$.

Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert le 30 mai 1799 que :

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}$.

Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

$G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)$

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

$G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}$

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

• La première est

  $L_{1}=\pi G={\frac {L}{2}}$

  où $L={\frac {\left(\operatorname {\Gamma } (1/4)\right)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}$ est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1

• La seconde est

  $L_{2}={\frac {1}{2G}}$.

Autres formules

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

$G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })$.

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

$G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}$.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)$.

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauss's constant » (voir la liste des auteurs).

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Constant », sur MathWorld