Problème de Bâle

En mathématiques, le problème de Bâle (connu parfois aussi sous le nom de problème de Mengoli) est un problème renommé de théorie des nombres, qui consiste à demander la valeur de la somme de la série convergente :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots

Le problème a été résolu par Leonhard Euler, qui établit que cette somme $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ vaut :

{\frac {\pi ^{2}}{6}}

et en donna la première démonstration rigoureuse en 1741.

Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, étudié 40 ans plus tard par Jacques Bernoulli né à Bâle, le problème résiste aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque.

La valeur demandée est approximativement égale à 1,64493406684822640. À cause de la lente convergence de la série^{[note 1]}, une telle valeur approchée n'a pu être trouvée qu'en mettant en œuvre des méthodes d'accélération de convergence, ce qui a notamment été fait par Stirling^[1] en 1730 et Euler^[2] en 1731.

Euler, dont Bâle est également la ville natale, annonce en 1735 la découverte de la somme exacte^[3]. Mais ses arguments d’alors font intervenir des produits infinis de façon non rigoureuse. Euler obtient une notoriété immédiate. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées seront reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel celui-ci définit la fonction ζ, en démontre les propriétés de base et énonce sa célèbre hypothèse.

Six ans plus tard, en 1741, Euler produit une démonstration correcte^[4].

Euler attaque le problème

La déduction d'Euler de la valeur $π 2 /6$ utilise essentiellement des observations sur les polynômes, en présumant que ces mêmes propriétés sont toujours vraies pour les séries infinies. Le raisonnement original d'Euler requiert une justification, mais même sans celle-ci, en obtenant la valeur correcte, il est capable de la vérifier numériquement par rapport aux sommes partielles de la série. La concordance qu'il observe lui inspire suffisamment confiance pour annoncer son résultat à la communauté mathématique.

Pour suivre l'argument d'Euler, rappelons le développement en série de Taylor de la fonction sinus au voisinage de 0 :

\forall x\in \mathbb {R} ,\ \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

En supposant $x$ non nul et en divisant par ce réel, nous avons

{\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots

Maintenant, les racines de $(sin x)/ x$ (intersection avec l'axe des $x$ ) apparaissent précisément pour $x = \pm n π$ , où $n = 1, 2, 3\dots$ . Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines :

{\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}

Si nous effectuons formellement ce produit et regroupons tous les termes $x 2$ , nous voyons que le coefficient de $x 2$ dans $sin(x)/ x$ est

-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}

Mais, à partir du développement de la série infinie originale de $sin(x)/ x$ , le coefficient de $x 2$ est :

-{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{6}}

Ces deux coefficients doivent être égaux ; ainsi,

-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}

En multipliant les deux côtés de cette équation par $-π 2$ , nous obtenons la somme des inverses des carrés d'entiers positifs.

La fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann $ζ(s)$ ^[5] est une des plus importantes fonctions de la théorie des nombres, à cause de sa relation avec la distribution des nombres premiers. La fonction est définie pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 1 par la formule suivante^{[note 2]} :

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}

En prenant s = 2, nous voyons que $ζ(2)$ est égale à la somme des inverses des carrés d'entiers positifs :

\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots \approx 1{,}644934

On montre facilement, en majorant cette série à termes positifs par une série télescopique, qu'elle converge et que $ζ(2) < 5/3 = 1,66\dots$ , mais la valeur exacte $ζ(2) = π 2 /6$ est demeurée longtemps inconnue, jusqu'à ce qu'Euler la calcule numériquement en 1735, (ré)inventant pour ce faire la formule connue à présent sous le nom de formule sommatoire d'Euler-Maclaurin, et constate son égalité (jusqu'à la vingtième décimale) avec $π 2 /6$ , puis construise la démonstration. Il a démontré bien plus tard que $ζ$ (2n) a une belle expression en nombres de Bernoulli pour tout entier n > 0.

Une démonstration

L'argument suivant prouve l'identité $ζ(2) = π 2 /6$ , où $ζ$ est la fonction zêta de Riemann. C'est la démonstration la plus élémentaire disponible ; car la plupart des démonstrations utilisent des résultats de mathématiques avancées, telle que les séries de Fourier, l'analyse complexe^{[note 3]} et le calcul à plusieurs variables ; celle qui suit ne requiert même pas le calcul à une variable (bien qu'une limite soit prise à la fin).

Cette démonstration remonte au Cours d'AnalyseCours d'Analyse^[6] de Cauchy (1821). Elle apparaît en 1954 dans le livre d'Akiva et Isaak Yaglom (en) Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii^[7], puis dans le journal Eureka en 1982, attribuée à John Scholes, mais Scholes a déclaré qu'il a appris la démonstration de Peter Swinnerton-Dyer, et dans tous les cas il maintient que la démonstration était « bien connue à Cambridge à la fin des années 1960 ».

Rappels trigonométriques

On utilise les propriétés suivantes sur les fonctions cotangente $cot = cos/sin$ et cosécante $csc = 1/sin$ , pour tout réel $x \in ]0, π/2[$ :

l'identité trigonométrique $csc 2 x = 1 + cot 2 x$ ;
l'identité trigonométrique (déduite de la formule de Moivre) ${\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}=\sum _{0\leq k\leq {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}\cot ^{n-2k-1}x$ , où les ${n \choose 2k+1}$ sont des coefficients binomiaux ;
l'encadrement $cot 2 (x) < 1 / x 2 < csc 2 (x)$ .

La démonstration

L'idée principale derrière la démonstration est d'encadrer les sommes partielles

\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}

entre deux expressions, chacune tendant vers $π 2 / 6$ quand $m$ tend vers l'infini.

Soit $m$ un entier positif. Appliquons l'identité

{\frac {\sin((2m+1)x)}{\sin ^{2m+1}x}}=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{2m+1 \choose 2k+1}\cot ^{2(m-k)}x

à chaque $x r = r π / 2 m + 1 \in ]0, π/2[$ pour $r \in {1, \dots , m}$ :

\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{2m+1 \choose 2k+1}\cot ^{2(m-k)}x_{r}={\frac {\sin(r\pi )}{\sin ^{2m+1}x_{r}}}=0\quad {\text{donc}}\quad P(\cot ^{2}x_{r})=0

où $P$ est le polynôme

P(t):=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{2m+1 \choose 2k+1}t^{m-k}

.

Puisque ce polynôme est de degré $m$ et que $\cot ^{2}x_{1}>\cot ^{2}x_{2}>\dots >\cot ^{2}x_{m}$ , les $m$ nombres $cot 2 (x r)$ sont exactement les racines de $P$ . On peut donc calculer leur somme en fonction des coefficients de $P$ :

\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{2m+1}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {2\pi }{2m+1}}\right)+\cdots +\cot ^{2}\left({\frac {m\pi }{2m+1}}\right)={\frac {{2m+1} \choose 3}{{2m+1} \choose 1}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.

En substituant l'identité $csc 2 (x) = 1 + cot 2 (x)$ , on a

\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{2m+1}}\right)+\csc ^{2}\left({\frac {2\pi }{2m+1}}\right)+\cdots +\csc ^{2}\left({\frac {m\pi }{2m+1}}\right)={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.

Maintenant, considérons l'encadrement $cot 2 (x) < 1 / x 2 < csc 2 (x)$ . En additionnant tous ces encadrements pour chaque nombre $x r = r π / 2 m + 1$ et en utilisant les deux identités ci-dessus, on obtient

{\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.

En les multipliant par [ $π/(2 m + 1)$ ]², cela devient

{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).

Lorsque $m$ tend vers l'infini, les parties gauche et droite tendent chacune vers $π 2 /6$ donc, par le théorème des gendarmes,

\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

La démonstration d'Euler

L'astuce d'Euler^[8] consiste à évaluer d'une seconde façon l'intégrale

\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,{\rm {d}}x=\left[{\frac {(\arcsin x)^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {\pi ^{2}}{8}}

.

D'après la formule du binôme généralisée,

\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}{2\cdot 4\cdots (2k)}}x^{2k}

.

Par « intégration » terme à terme, on en déduit le développement en série entière de la fonction arc sinus :

\arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}{2\cdot 4\cdots (2k)}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}

.

Or

\forall k\in \mathbb {N} \quad \int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,{\rm {d}}x={\frac {2\cdot 4\cdots (2k)}{3\cdot 5\cdots (2k+1)}}

(par récurrence, à l'aide d'une intégration par parties, ou par changement de variable donnant une intégrale de Wallis) .

Par interversion série-intégrale, Euler trouve ainsi la somme des inverses des carrés d'entiers impairs :

{\frac {\pi ^{2}}{8}}=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,{\rm {d}}x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}

puis conclut en multipliant par une série géométrique :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{k,j\in \mathbb {N} }{\frac {1}{\left((2k+1)2^{j}\right)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{j}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}\times {\frac {4}{3}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

.

Cette deuxième preuve d'Euler semblait plus rigoureuse que la première. Il n'y manquait qu'une justification de l'interversion série-intégrale. On peut y remédier en invoquant, par exemple, le théorème de convergence monotone, démontré par Beppo Levi en 1906.

Une démonstration par transformation de Fourier

Le calcul s'obtient très simplement avec l'aide des outils de l'analyse harmonique. Il suffit pour cela d'appliquer l'égalité de Parseval à la série de Fourier de la fonction périodique de période 2π égale à l'identité sur [–π, π[^[9].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Basel problem » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ Pour obtenir 4 décimales exactes, il faut additionner plus de 15 000 termes de la somme.
↑ Il est possible en fait de définir ζ pour tout complexe différent de 1 par différentes méthodes de prolongement : voir Fonction zêta de Riemann, § Extension à ℂ-{1}.
↑ L'analyse complexe fournit par exemple un développement de $π 2 /sin 2 (π x)$ qui, appliqué à $x = 1/2$ , donne la somme des carrés des inverses des entiers naturels impairs : $π 2 /8$ , dont Euler avait déduit $ζ(2) = π 2 /6$ .

Références

↑ (la) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, 1730, Prop. XI, exemple 1, p. 55-56 ; il obtient la relation $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n^{2}{2n \choose n}}}$ , qui lui permet un calcul de la somme avec une bonne précision, mais ne reconnait pas la valeur exacte $π 2 /6$ .
↑ Euler, Opera Omnia, Series 1, vol. 14, p. 39-41 (E20 : De summatione innumerabilium progressionum).
↑ Euler, Opera Omnia, Series 1, vol. 14, p. 73-86 (E41 : De summis serierum reciprocarum).
↑ L. Euler, « Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc. », Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord, vol. 2,‎ 1743, p. 115-127 (lire en ligne) (E63, Opera Omnia, I.14, p. 177-186), écrit en 1741. Voir aussi sa lettre d'avril 1742 (OO396) à Clairaut.
↑ El Jj, « Deux (deux ?) minutes pour... l'hypothèse de Riemann », 4 avril 2016 (consulté le 14 mars 2019)
↑ Note VIII.
↑ (en) Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, vol. 2, aperçu sur Google Livres, Problem 145a, p. 24 et 131.
↑ (en) Ed Sandifer, How Euler did it – Basel Problem with Integrals[PDF], mars 2004.
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Bernard Martin, Le problème de Bâle. Comment un calcul de primitive peut amener à la détermination de la somme d’une série
(en) Ed Sandifer, Euler’s Solution of the Basel Problem – The Longer Story[PDF]
(en) Ed Sandifer, How Euler did it – Estimating the Basel Problem[PDF]
(en) James A. Sellers, Beyond Mere Convergence[PDF]
(en) Robin Chapman, Evaluating ζ(2)[PDF] (compilation de quatorze preuves)
(en) Eric W. Weisstein, « Riemann Zeta Function zeta(2) », sur MathWorld

[1] Pour obtenir 4 décimales exactes, il faut additionner plus de 15 000 termes de la somme.

[7] Il est possible en fait de définir ζ pour tout complexe différent de 1 par différentes méthodes de prolongement : voir Fonction zêta de Riemann, § Extension à ℂ-{1}.

[8] L'analyse complexe fournit par exemple un développement de $π 2 /sin 2 (π x)$ qui, appliqué à $x = 1/2$ , donne la somme des carrés des inverses des entiers naturels impairs : $π 2 /8$ , dont Euler avait déduit $ζ(2) = π 2 /6$ .

[2] (la) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, 1730, Prop. XI, exemple 1, p. 55-56 ; il obtient la relation $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n^{2}{2n \choose n}}}$ , qui lui permet un calcul de la somme avec une bonne précision, mais ne reconnait pas la valeur exacte $π 2 /6$ .

[3] Euler, Opera Omnia, Series 1, vol. 14, p. 39-41 (E20 : De summatione innumerabilium progressionum).

[4] Euler, Opera Omnia, Series 1, vol. 14, p. 73-86 (E41 : De summis serierum reciprocarum).

[5] L. Euler, « Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc. », Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord, vol. 2,‎ 1743, p. 115-127 (lire en ligne) (E63, Opera Omnia, I.14, p. 177-186), écrit en 1741. Voir aussi sa lettre d'avril 1742 (OO396) à Clairaut.

[6] El Jj, « Deux (deux ?) minutes pour... l'hypothèse de Riemann », 4 avril 2016 (consulté le 14 mars 2019)

[9] Note VIII.

[10] (en) Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, vol. 2, aperçu sur Google Livres, Problem 145a, p. 24 et 131.

[11] (en) Ed Sandifer, How Euler did it – Basel Problem with Integrals[PDF], mars 2004.

[12] Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

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