Espace compactement engendré

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En mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff[1]. Cette notion intervient en théorie de l'homotopie, dans l'étude des CW-complexes[2]. Un espace X est :

  • un k-espace si toute partie « compactement fermée » de X est fermée (une partie F de X est dite compactement fermée si pour toute application continue f d'un compact K dans X, f−1(F) est fermé dans K) ;
  • faiblement Hausdorff[3]si toute application continue d'un compact dans X est fermée.

Motivation des définitions[modifier | modifier le code]

Se restreindre aux k-espaces sert principalement à obtenir une sous-catégorie de celle des espaces topologiques qui soit cartésienne fermée[4],[5],[6].

On démontre que X est faiblement Hausdorff, ou t2, si et seulement si sa diagonale est compactement fermée dans X×X, ce qui est une condition plus faible que la séparation usuelle de Hausdorff, ou T2, pour laquelle la diagonale doit être fermée. Plus précisément, la propriété t2 est située, dans la hiérarchie des axiomes de séparation[7], entre la séparation T1 et la séparation KC, ou T’2. Un espace KC est un espace dans lequel tout quasi-compact est fermé. Dans un espace faiblement Hausdorff, on demande seulement que les images continues de compacts soient fermées. Mais elles sont alors automatiquement séparées[8] donc compactes, et il en résulte que

dans un espace X compactement engendré, une partie est fermée dès que son intersection avec tout compact K de X est fermée dans K[8].

On en déduit facilement que X est KC. Ainsi, pour un k-espace, ces deux notions très proches de séparation (faiblement Hausdorff et KC) sont en fait équivalentes.

Un avantage[6] de cette hypothèse de séparation est de permettre une reformulation plus simple de la définition des k-espaces : on vient de voir qu'un espace faiblement Hausdorff est un k-espace si et seulement si sa topologie est cohérente avec la famille de ses parties compactes. On peut remplacer fermé par ouvert dans cette caractérisation : un espace faiblement Hausdorff X est un k-espace si et seulement si une partie de X est ouverte dès que son intersection avec tout compact K de X est ouverte dans K. On peut aussi remplacer la famille de tous les compacts de X par n'importe quel recouvrement par des quasi-compacts[9].

L'un des intérêts[6] de ne pas imposer une condition de séparation plus forte, comme la séparation usuelle, est de préserver la stabilité par colimites : le quotient d'un k-espace séparé par un fermé peut ne pas être séparé.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les k-espaces sont exactement les quotients d'espaces localement compacts[10], en particulier tout espace localement compact (séparé par définition) est compactement engendré.

Tout espace métrisable est compactement engendré. Plus généralement, tout espace séquentiel est un k-espace[8] et s'il est de plus à unique limite séquentielle alors il est faiblement Hausdorff.

Tout CW complexe est compactement engendré et séparé[2].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout espace X peut être muni d'une nouvelle topologie définie comme suit[8] : les fermés de ce nouvel espace, noté kX, sont par définition les parties compactement fermées de X. La topologie de kX est donc plus fine que celle de X mais les applications continues d'un compact dans X ou kX sont les mêmes, si bien que kX est un k-espace. Plus généralement, toute application continue d'un k-espace Y dans X est continue de Y dans kX. Autrement dit : le foncteur de « k-ification[11] » est adjoint à droite de l'inclusion de la sous-catégorie des k-espaces dans celle des espaces topologiques ; de plus, si X est faiblement Hausdorff alors kX aussi.

L'inclusion de la sous-catégorie des espaces faiblement Hausdorff, quant à elle, admet un adjoint à gauche, qui associe à tout espace son quotient faiblement Hausdorff maximal[11].

Tout quotient et toute union disjointe de k-espaces est un k-espace, ainsi que tout produit par un localement compact.

Le produit existe dans la catégorie des k-espaces : c'est la k-ification du produit d'espaces topologiques, parfois notée ×k, qui en fait une catégorie monoïdale. Comme tout produit d'espaces faiblement Hausdorff est faiblement Hausdorff, la sous-catégorie des espaces compactement engendrés est également monoïdale.

X est un k-espace (si[12] et) seulement si[8] toute application de X dans un espace quelconque continue sur chaque compact de X est continue sur X.

Tout fermé d'un k-espace est un k-espace, mais l'espace d'Arens-Fort, bien que sous-espace d'un compact, n'est pas un k-espace.

Si X et Y sont des k-espaces et si CO(X, Y) désigne l'espace des applications continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte, l'application suivante est continue :

k(CO(X,Y))\times_kX\to Y,~(f,x)\mapsto f(x).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. La terminologie est fluctuante. Nous adoptons celle, courante, de Bruno Klingler, Homotopie, première partie, Université Paris 7 et (en) J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (lire en ligne), chap. 5.
    (en)Neil P. Strickland (de), « The category of CGWH spaces »,‎ 2009[PDF] appelle « compactement engendré » ce que Klingler nomme « k-espace », et « compactement engendré faiblement Hausdorff » (CGWH : compactly generated weakly Hausdorff) ce que Klingler nomme « compactement engendré ».
    L'article (en) « Compactly generated topological space », sur nLab (en) donne la même terminologie que Klingler mais signale celle de Strickland.
    (en) Edwin H. Spanier, Algebraic Topology, Springer,‎ 1994 (1re éd. 1966) (ISBN 978-0-387-94426-5), p. 5 et Steenrod 1967 appellent « compactement engendrés » les k-espaces de Hausdorff, mais cette catégorie n'est pas optimale (cf. infra).
    Comme eux, (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition], § VII.8 limite son étude aux k-espaces de Hausdorff, qu'il appelle CGHaus ou espaces de Kelley.
  2. a et b (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 523-531
  3. On dit aussi : « faiblement séparé ».
  4. (en) N. E. Steenrod, « A convenient category of topological spaces », Michigan Math. J., vol. 14, no 2,‎ 1967, p. 133-152 (lire en ligne)
  5. (en) P. I. Booth et J. Tillotson, « Monoidal closed, Cartesian closed and convenient categories of topological spaces », Pacific J. Math., vol. 88,‎ 1980, p. 33-53 (lire en ligne)
  6. a, b et c (en) Why the “W” in CGWH (compactly generated weakly Hausdorff spaces)?, sur MathOverflow
  7. (en) Rudolf-E. Hoffmann, « On weak Hausdorff spaces », Archiv der Mathematik, vol. 32, no 1,‎ 1979, p. 487-504 (lire en ligne)
  8. a, b, c, d et e Strickland, op. cit., p. 1-2
  9. (en) Mark Behrens, MIT, Algebraic Topology II, Spring, 2010, Lecture 2:Compactly generated spaces, Remark 1.5
  10. (en) Martín Escardó, Jimmie Lawson et Alex Simpson, « Comparing Cartesian closed categories of (core) compactly generated spaces », Topology and its Applications, vol. 143, no 1-3,‎ août 2004, p. 105-145 (lire en ligne), Corollary 3.4
  11. a et b (en) Jon Peter May et Johann Sigurdsson, Parametrized Homotopy Theory, AMS,‎ 2006 (ISBN 978-0-821-83922-5, lire en ligne), p. 16
  12. Prendre l'application identité, de X dans kX.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]