Théorème de Darboux (analyse)

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Darboux est un théorème nommé en l'honneur du mathématicien Gaston Darboux qui étend le théorème des valeurs intermédiaires aux fonctions non nécessairement continues mais seulement dérivées de fonctions numériques.

Historique[modifier | modifier le code]

Une fonction f de ℝ dans ℝ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si, u et v étant les deux valeurs prises par f respectivement en deux points quelconques a et en b, toutes les valeurs comprises entre u et v sont également prises par f lorsque la variable varie de a à b. C'est le cas des fonctions continues, ce résultat constituant le théorème des valeurs intermédiaires.

Au XIXe siècle, la plupart des mathématiciens pensaient que, réciproquement, une fonction f qui vérifiait la propriété des valeurs intermédiaires était nécessairement continue sur un intervalle I contenu dans [a, b] pour lequel f(I) = [u, v]. Autrement dit, la propriété des valeurs intermédiaires serait une caractéristique des fonctions continues. En 1875, Gaston Darboux[1] mit un terme à cette conviction en prouvant d'une part qu'il existait des fonctions dérivables dont la dérivée n'était continue sur aucun intervalle, et, d'autre part, que toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (théorème de Darboux).

Les fonctions de Darboux[modifier | modifier le code]

Dans son mémoire, Darboux donne l'exemple suivant de fonction F dérivable dont la dérivée f n'est continue sur aucun intervalle.

Il utilise une première fonction, qui est dérivable en tout point, mais dont la dérivée est discontinue en 0 :

 \phi:\R \rightarrow \R,\ x \mapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ pour }x \neq 0,\ \phi(0)=0 \text{ sinon}.

Pour toute série \sum a_n absolument convergente, il définit ensuite la fonction :

 F : x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \phi(\sin(nx\pi))

Il prouve que cette fonction est dérivable en tout point, de dérivée :

 f : x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \pi a_n \phi'(\sin(nx\pi)) \cos(nx\pi)

et affirme qu'on obtient ainsi une fonction F dont la dérivée f n'est continue en aucun rationnel[2].

D'après le théorème de Darboux, la fonction f ci-dessus vérifie donc la propriété des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, tout en n'étant continue sur aucun intervalle.

Depuis, on appelle fonction de Darboux toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires. Ces fonctions ont été très étudiées, en relation avec la propriété d'être de classe de Baire 1 (en)[3],[4].

De telles fonctions sont nombreuses. Toute fonction continue est une fonction de Darboux. La dérivée ϕ' de la fonction ϕ définie ci-dessus est une fonction de Darboux discontinue en 0. Toute fonction numérique est somme de deux fonctions de Darboux ; plus généralement[5], les fonctions numériques de toute famille ayant au plus la puissance du continu sont toutes sommes de deux fonctions « fortement Darboux » dont l'une est fixe, une fonction f étant dite fortement Darboux si f(I) = ℝ pour tout intervalle I contenant au moins deux points (une telle fonction est automatiquement de Darboux et discontinue en tout point). Les éventuelles discontinuités d'une fonction de Darboux f sont toujours essentielles (en) ; plus précisément, si f est, par exemple, discontinue à droite en un point alors, en ce point, f n'a pas de limite à droite, même infinie. Une fonction de Darboux est continue si (et seulement si) tous ses ensembles de niveau sont fermés[6],[7].

Le théorème de Darboux consiste à montrer que la dérivée d'une fonction dérivable est également une fonction de Darboux.

La réciproque est fausse. En effet, on sait que toute fonction dérivée est à la fois borélienne et continue sur un ensemble dense et il existe des fonctions « fortement Darboux » (donc discontinues en tout point), comme celles mentionnées ci-dessus ou celles construites par Lebesgue[8] ou par Conway (en) ; il en existe même qui ne sont pas Lebesgue-mesurables[9],[10],[11].

Énoncés du théorème de Darboux[modifier | modifier le code]

Première forme[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction numérique (à valeurs réelles), dérivable sur un intervalle [a, b]. Si k est un nombre réel compris entre f ' (a) et f ' (b), il existe alors un nombre c, compris entre a et b, tel que f ' (c) = k.

Formulation équivalente[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction à valeurs réelles, dérivable sur un intervalle I, alors f ' (I) est un intervalle.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Deux démonstrations sont proposées. La première[12], classique, repose essentiellement – comme celle du théorème de Rolle – sur le théorème des bornes (des variantes utilisent d'autres résultats d'analyse élémentaire : le théorème des valeurs intermédiaires – parfois implicitement[13] – joint au théorème de Rolle[14] ou des accroissements finis[15],[16]). La seconde[14] fait appel à des notions de topologie générale, ce qui la rend élégante mais plus sophistiquée.

Première démonstration[modifier | modifier le code]

En reprenant les notations de la première forme de l'énoncé, avec a < b, on peut, sans perte de généralité, supposer que f ' (a) < k < f ' (b).

On considère la fonction g : [a, b] → ℝ définie par \forall x\in[a,b],~g(x)=f(x)-kx.

Elle est dérivable sur l'intervalle [a, b] et \forall x\in [a,b],~g'(x)=f'(x)-k.

En particulier, g ' (a) = f ' (a) – k < 0 et g ' (b) = f ' (b) – k > 0.

La fonction g étant dérivable sur [a, b], elle y est continue et donc elle y admet un minimum.

La fonction g ne peut avoir un minimum en a car sinon, on aurait, pour tout x]a, b] :

\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \ge 0

et en prenant la limite de ce rapport quand x tend vers a, on aurait g ' (a) ≥ 0, ce qui est exclu.

De même, on montre que g ne peut avoir un minimum en b.

Il en résulte que ce minimum est atteint en un point c]a, b[. On a alors g ' (c) = 0, d'où f ' (c) = k.

Seconde démonstration[modifier | modifier le code]

Reprenons les notations du second énoncé. Soient T = \{(x,y) \in I \times I, x<y\} et g la fonction définie sur T par g(x,y) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}.

L'ensemble T est une partie connexe – car convexe – de ℝ2 (c'est un triangle si l'intervalle I est borné) et g est continue donc g(T) est une partie connexe de ℝ, c'est-à-dire un intervalle.

Par ailleurs, f ' (I) ⊂ g(T) (par définition de la dérivée) et le théorème des accroissements finis dit exactement que g(T) ⊂ f ' (I).

L'image de I par f ' est donc coincée entre l'intervalle g(T) et son adhérence, par conséquent c'est un intervalle.

Applications[modifier | modifier le code]

Ce théorème peut servir à montrer qu'une fonction n'admet pas de primitive, en montrant qu'il existe un intervalle sur lequel cette fonction ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires. Un exemple trivial est donné par la fonction partie entière.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. Darboux, « Mémoire sur les fonctions discontinues », ASENS (en), vol. 4,‎ 1875, p. 57-112 (lire en ligne), en particulier p. 109-110
  2. (en) Israel Halperin (en), « Discontinuous functions with the Darboux property », Canad. Math. Bull., vol. 2,‎ 1959, p. 111-118 (lire en ligne) démontre que cette affirmation est exacte si et seulement si, pour tout entier q > 0, au moins l'un des amq est non nul. Une condition suffisante est donc que tous les an soient non nuls.
  3. (en) Andrew M. Bruckner (en), Differentiation of Real Functions, AMS,‎ 1994, 2e éd. (ISBN 978-0-82186990-1, lire en ligne), chap. 1 et 2
  4. (en) A. M. Bruckner et J. G. Ceder, « Darboux continuity », J'ber. DMV, vol. 67,‎ 1965, p. 93-117 (lire en ligne)
  5. (en) Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician, CUP,‎ 1997 (ISBN 978-0-521-59465-3, lire en ligne), p. 106-107
  6. (en) C. H. Rowe, « Note on a pair of properties which characterize continuous functions », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 32, no 3,‎ 1926, p. 285-287 (lire en ligne)
  7. Dany-Jack Mercier, Lectures sur les Mathématiques, l'Enseignement et les Concours, vol. 2, Publibook,‎ 2010 (lire en ligne), p. 46
  8. Henri Lebesgue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Paris, Gauthier-Villars,‎ 1904 (lire en ligne), p. 90 (La fonction construite par Lebesgue n'est pas « fortement Darboux » au sens strict, mais le devient par composition avec une surjection de [0, 1] dans ℝ.)
  9. (en) Gary L. Wise et Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis,‎ 1993 (ISBN 978-0-19-507068-2, lire en ligne), p. 64
  10. Halperin 1959
  11. Voir aussi : Équation fonctionnelle de Cauchy
  12. (en) Michael Spivak (de), Calculus, CUP,‎ 2006, 3e éd. (ISBN 978-0-52186744-3, lire en ligne), p. 211 (ex. 54)
  13. Jean-Etienne Rombaldi, Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications, p. 424
  14. a et b Mercier 2010, p. 42
  15. Lebesgue 1904, p. 89
  16. (en) Teodora-Liliana Rădulescu, Vicentiu D. Rădulescu et Titu Andreescu, Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer,‎ 2009 (ISBN 978-0-38777378-0, lire en ligne), p. 193-194, citant (en) Lars Olsen, « A New Proof of Darboux's Theorem », Amer. Math. Month., vol. 111, no 8,‎ 2004, p. 713-715