Cercle osculateur

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Au point M de la courbe rouge, le cercle osculateur (en pointillés) approche mieux la courbe qu'un cercle tangent quelconque (passant par N). Son centre O et son rayon R sont le centre de courbure et le rayon de courbure de la courbe en M.
Évolution du cercle osculateur en un point, lorsque ce point parcourt la courbe

En géométrie différentielle, le cercle osculateur ou cercle de courbure en un point d'une courbe est un objet permettant la description locale de cette courbe. Parmi les cercles passant par ce point, c'est celui qui « épouse cette courbe le mieux possible », donc mieux qu'un cercle tangent quelconque, d'où le nom de cercle osculateur (littéralement, « qui donne un baiser »)[1],[2].

Définitions et propriétés[modifier | modifier le code]

Une courbe suffisamment régulière possède un cercle de courbure en tout point birégulier, c'est-à-dire en tout point pour lesquels les vecteurs vitesse et accélération sont non colinéaires.

Il est possible de définir le cercle de courbure à partir de la courbure et des éléments du repère de Frenet, ou au contraire de donner une définition géométrique du cercle de courbure, et de définir à partir de lui la courbure.

Défini de façon directe, le cercle de courbure est le cercle le plus proche de la courbe en P, c'est l'unique cercle osculateur à la courbe en ce point. Ceci signifie qu'il constitue une très bonne approximation de la courbe, meilleure qu'un cercle tangent quelconque. En effet, il donne non seulement une idée de la direction dans laquelle la courbe avance (direction de la tangente), mais aussi de sa tendance à tourner de part ou d'autre de la tangente.

Le cercle de courbure au point de paramètre t0 est aussi la limite, lorsque t tend vers t0, du cercle passant par les points de paramètre t et t0 et tangent à la courbe en t0 (un tel cercle existe pour t assez proche de t0).

Le cercle de courbure en un point P de la courbe a pour rayon l'inverse de la courbure en P, appelé rayon de courbure. Il est centré sur la droite normale à la courbe en P, et situé à l'intérieur de la concavité de la courbe (la courbe s'enroule autour de son centre de courbure). La tangente à la courbe en P est donc tangente également au cercle de courbure.

Propriétés du centre de courbure[modifier | modifier le code]

Le centre de courbure peut donc être exprimé à partir des éléments du repère de Frénet par la formule suivante

\overrightarrow{P\Omega} = \frac1{\gamma} \vec{N}

Le centre de courbure en P peut être vu également comme le point d'intersection de la normale en P avec une normale infiniment proche. De ce point de vue, la courbe formée par les centres de courbure successifs, appelée développée de la courbe initiale, est l'enveloppe de la famille des normales à la courbe.

Démonstrations et étude de la position de la courbe et du cercle osculateur[modifier | modifier le code]

Toutes les propriétés précédentes peuvent être établies de façon analytique. Pour simplifier au maximum l'étude, on munit l'arc d'un paramétrage par l'abscisse curviligne en prenant pour origine le point en lequel on veut calculer le cercle de courbure. Avec ces hypothèses, les vecteurs dérivés successifs sont

\frac{dM}{ds}=T \qquad \frac{d^2M}{ds^2}=\gamma N \qquad  
 \frac{d^3M}{ds^3}=\frac{d\gamma}{ds}N - \gamma^2 T

\gamma est la courbure.

Les calculs se feront dans le repère de Frenet associé au point d'étude : on note X(s) et Y(s) les coordonnées des points de la courbe relativement à ce repère. Alors

 \begin{cases} X(0)=0 \qquad Y(0)=0 \\
X'(0)=1 \qquad Y'(0)=0 \\
X''(0)=0 \qquad Y''(0)=\gamma(0) \\
X'''(0)=-\gamma(0)^2 \qquad Y'''(0)=\frac{d\gamma}{ds}(0) \end{cases}

Si un cercle est osculateur à la courbe au point s=0, il admet pour tangente la droite Y=0, donc son centre se trouve en un point de coordonnées du type (0,Y0). On forme l'équation d'un tel cercle : X2+(Y-Y0)2=Y02. On peut donc vérifier si le point courant sur la courbe est à l'intérieur ou à l'extérieur en calculant le développement limité de l'expression

X(s)^2+(Y(s) -Y_0)^2-Y_0^2=(1-Y_0 \gamma(0)) s^2 - \frac{Y_0}{3}\frac{d\gamma}{ds}(0) s^3+o(s^3)

La condition nécessaire et suffisante pour que le cercle soit osculateur est l'annulation du premier terme, ce qui donne bien Y_0=\frac1{\gamma(0)} rayon de courbure. Ceci prouve l'existence et l'unicité du cercle osculateur.

Cercle surosculateur avec un contact d'ordre 4

En outre la position par rapport au cercle osculateur est donnée par le signe de l'expression - \frac{Y_0}{3}\frac{d\gamma}{ds}(0) s^3 + o(s^3):

  • si \frac{d\gamma}{ds}(0) \neq 0 (cas le plus fréquent), la courbe traverse le cercle osculateur en ce point. L'ordre de multiplicité du point de contact est 3 exactement[3].
  • sinon le point d'étude est un sommet : l'ordre de multiplicité du point d'intersection est 4 ou plus, le cercle est dit surosculateur. Dans ce dernier cas il faudrait poursuivre le développement limité pour connaître la position de la courbe. En général elle reste toujours du même côté du cercle surosculateur.

Sphère osculatrice d'une courbe gauche[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'une courbe dans l'espace euclidien de dimension 3, on définit le plan osculateur en un point M de la courbe comme étant le plan passant par ce point et dirigé par les vecteurs tangent et normal. Le cercle osculateur est défini de la même façon que précédemment.

Il existe plusieurs sphères contenant ce cercle. On appelle sphère osculatrice[4], ou surosculatrice[5], la sphère qui minimise l'écart avec la courbe au voisinage du point M considéré. La recherche du centre de la sphère peut se conduire comme précédemment, mais les développements limités doivent être conduits jusqu'à l'ordre 3, en décomposant les vecteurs selon le vecteur tangent T, normal N et binormal B. Les calculs conduisent à choisir ce centre en M + \frac1{\gamma} N - \frac{\gamma'}{\gamma^2\tau} B, où \gamma est la courbure au point M, \gamma' sa dérivée par rapport à l'abscisse curviligne, \tau la torsion de la courbe au point M. Le projeté orthogonal de ce centre sur le plan osculateur n'est autre que le centre de courbure.

Références[modifier | modifier le code]

  1. du latin osculare : donner un baiser
  2. Le terme apparaît chez Leibniz, Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, Acta Eruditorum, Juin 1686, in Gerhardt, Mathematische Schriften, tome VII, p. 326-329, où Leibniz distingue les cercles touchant une courbe donnée (circulo curvam propositam tangente) du cercle baisant (osculante) celle-ci. Voir aussi Marc Parmentier, Leibniz, naissance du calcul différentiel, Paris, Vrin, (1989), pp. 122-125, pour une traduction plus moderne
  3. Il est de 1 pour un cercle sécant, de 2 pour un cercle tangent. Leibniz, dans Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, croyait de manière erronée qu'il était de 4 pour le cercle osculateur. L'erreur sera corrigée par Jacques Bernoulli dans l'article Additamentum ad solutionem curvae causticae Fratris Johannis Bernoulli, Acta Eruditorum, mars 1692. Leibniz mettra plusieurs années à reconnaître son erreur. cf Marc Parmentier, Leibniz, naissance du calcul différentiel, Vrin, (1989), p.222-224, p.304, p.337
  4. Osculating sphere surle site mathworld
  5. Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques : Tome 3:Géométrie et cinématique, Bordas, coll. « Dunod »,‎ 1977 (ISBN 978-2-04-003080-3), p. 359-361