Suite arithmético-géométrique

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En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition[modifier | modifier le code]

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

\forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b.

Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)nn0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p[1]. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout nn0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique.

Terme général[modifier | modifier le code]

Cas a = 1[modifier | modifier le code]

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

\forall n\in\N,~u_n=u_0+nb.

Cas a ≠ 1[modifier | modifier le code]

En posant

r =\frac b{1-a}

on a :

\forall n\in\N,~u_n=a^n(u_0- r)+r

(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 00 = 1).

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement : \forall n_0\in\N,\forall n\ge n_0,~u_n=a^{n-n_0}(u_{n_0}-r)+r.

Somme des premiers termes[modifier | modifier le code]

Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

S_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_k=(u_0-r)\dfrac{1-a^n}{1-a}+nr.

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p, \sum_{k=p}^{n-1}u_k=S_n-S_p=(u_{0}-r)\dfrac{a^{p}-a^n}{1-a}+(n-p)r.

Convergence[modifier | modifier le code]

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u0r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où |a| < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle). Exemple : apport de 10 et fuite de 5 %, u_{n+1} = u_n+ 10 - \frac{5}{100} \times u_n.

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si R_n représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n)\, est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : R_{n+1} = (1 + t)R_n - M

On la trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors 
\begin{pmatrix}
a & 1-a \\
1-b  & b
\end{pmatrix}.

De la relation  (p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n)
\begin{pmatrix}
a & 1-a \\
1-b  & b
\end{pmatrix}

on déduit que : p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n. Comme d'autre part, q_n = 1-p_n, en remplaçant on obtient  p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. J.-P. Ramis et A. Warusfel, Mathématiques : Tout-en-un – 1e année, Dunod, coll. « J'intègre », p. 127

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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