Théorème de Linnik

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Le théorème de Linnik en théorie analytique des nombres répond à une question naturelle d'après le théorème de Dirichlet. Il affirme que, si nous notons p(a,d) le plus petit nombre premier dans la progression arithmétique

a + nd

pour un nombre entier n> 0, où a et d sont n'importe quels entiers positifs premiers entre eux tels que 1 ≤ a ≤ d, il existe des nombres c et L positifs tels que :

 p(a,d) < c d^L.~

Ce théorème a été démontré par Yuri Linnik (en) en 1944.

Depuis 1992, nous savons que[1] la constante de Linnik L est inférieure ou égale à 5,5 et que[2] L = 2 convient pour presque tous les entiers d. Il est aussi conjecturé[1] que :

\forall d \ge 2 ,~p ( a , d ) < d^2 .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) D. R. Heath-Brown, « Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression », Proc. London Math. Soc., vol. 64, no 3,‎ 1992, p. 265-338 (lire en ligne)
  2. (en) E. Bombieri, J. B. Friedlander (en) et Henryk Iwaniec (en), « Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III », J. Amer. Math. Soc. (en), vol. 2, no 2,‎ 1989, p. 215–224 (lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Linnik's theorem » (voir la liste des auteurs)