Groupe affine

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Les automorphismes d'un espace affine A constituent un groupe appelé groupe affine de A et noté GA(A).

En notant E l'espace vectoriel qui dirige A, l'application qui à tout automorphisme u de A fait correspondre l'automorphisme f de E associé à u est un morphisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linéaire GL(E). Son noyau forme le groupe des translations.

GA(A) est isomorphe au produit semi-direct du groupe additif de E par GL(E). Il est donc engendré par les translations, les transvections et les dilatations.

Le groupe ax + b est le groupe affine GA(ℝ) de la droite réelle.