Métrique de Kruskal-Szekeres

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La métrique de Kruskal-Szekeres est le prolongement analytique maximal de la métrique de Schwarzschild. L'introduction de la métrique de Kruskal-Szekeres apporte des solutions supplémentaires à celles de Schwarzschild, on y retrouve notamment un domaine dual à celui correspondant aux trous noirs : les trous blancs.

En 1960, Martin Kruskal et George Szekeres (en) découvrirent que la singularité gravitationnelle existant au rayon de Schwarzschild n'était pas une vraie singularité physique. En relativité générale, les effets observables sont décrits par le tenseur de Riemann. La singularité présente dans la métrique de Schwarzschild concerne les forces de marée que subit un observateur en chute libre et un invariant de courbure tel que R_{abcd}R^{abcd}, infini au niveau du rayon de Schwarzschild, ne l'est pas s'il est exprimé par rapport à un système de coordonnées adéquat. Comme le pôle Nord sur Terre, qui est un simple point mais qui dans certains systèmes de coordonnées devient singulier et doit s'étaler sur une ligne, comme dans une projection équatoriale, mais qui se comporte de façon tout à fait normale en projection polaire. Ce type de singularité s'appelle singularité de coordonnées.

L'étape clé des changements de coordonnées utilisés pour passer de la métrique de Schwarzschild à celle de Kruskal-Szekeres est l'utilisation de la coordonnée tortue de Regge-Wheeler r_* :

r_* = r + r_S \ln\left({r \over r_S} -1\right)

 r_S est le rayon de Schwarzschild \frac{2GM}{c^2} et qui reste continu à r_S.

À partir de cela on peut définir deux nouvelles coordonnées :

u = ct + r_* \;
v = ct - r_* \;

Avec ces coordonnées la partie r-t de la métrique de Schwarzschild devient :

d\,s^2 = - \left(1 - \frac{r_S}{r}\right)\,du\,dv

r est considéré comme une fonction de u et de v donné par :

r + r_S \ln\left({r \over r_S} -1\right) = r_* = (u -v)/2

Les coordonnées hybrides (u, r) ou (v, r) sont appelées coordonnées de Eddington-Finkelstein.

On peut alors réécrire la métrique comme :

ds^2 = - \frac{r_S e^{-r/r_S}}{r} e^{{v-u}/{2r_S}}\,du\,dv

En introduisant les nouvelles coordonnées :

U = -e^{-u/2r_S}
V = e^{v/2r_S}

la métrique devient :

ds^2 = \frac{4r_S^3 e^{-r/r_S}}{r}\,dU\,dV

et ne possède plus de singularité à r = r_S c'est-à-dire à U = 0 ou V = 0.

La solution de Schwarzschild a donc été étendue à toutes les valeurs pour lesquelles r > 0. Comme on peut le vérifier en calculant R_{abcd}R^{abcd}, la singularité existant à r = 0 persiste ; c'est une singularité physique.

La forme donnée par Kruskal demande une ultime transformation de coordonnées :

T = (V+U)/2
X = (V-U)/2

Ce qui donne, en réintroduisant la partie angulaire :

ds^2 = \frac{4r_S^3 e^{-r/r_S}}{r}\,(dX^2 - dT^2) + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2)

Le domaine des variables T et X est donné par la condition r > 0 ; ce qui donne :

X^2 - T^2 > -1