Métrique de Kruskal-Szekeres

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La métrique de Kruskal-Szekeres est le prolongement analytique maximal de la métrique de Schwarzschild. L'introduction de la métrique de Kruskal-Szekeres apporte des solutions supplémentaires à celles de Schwarzschild, on y retrouve notamment un domaine dual à celui correspondant aux trous noirs : les trous blancs.

Historique[modifier | modifier le code]

En décembre 1915, Karl Schwarzschild décrit la première solution exacte des équations d'Einstein, qui fait apparaitre une singularité inattendue, le rayon de Schwarzschild, dont la nature reste longtemps mal comprise.

En 1924, Arthur Eddington ébauche le premier système de coordonnées non singulier à ce fameux rayon[1]. En 1938, Georges Lemaître élabore une métrique synchrone (métrique de Lemaître) ; Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958[2], et nommée aujourd'hui métrique d'Eddington-Finkelstein (en). Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild[3], tout comme celle de Lemaître : ces métriques ne permettent pas d'envisager tous les cas dynamiques d'un corps dans l'environnement d'un trou noir de Schwarzschild. Elles ont toutefois montré que ce rayon n'est pas une singularité réelle, physique, mais seulement pour la métrique choisie par Schwarzschild.

En 1960, Martin Kruskal et George Szekeres (en) construisent une nouvelle métrique permettant d'étudier tous les types de mouvements d'un corps à l'extérieur et sous le rayon de Schwarzschild[4].

Les coordonnées de Kruskal-Szekeres[modifier | modifier le code]

Convention : la signature de la métrique est (– + + +).

Kruskal et Szekeres utilisent des coordonnées sans dimension, u pour la coordonnée radiale et v pour la coordonnée temporelle, définies dans le but d'éliminer le terme (1-\textstyle\frac{R_s}{r}) dans la nouvelle métrique. Elles reconstruisent r(u,v), t(u,v) par des fonctions transcendantes.

Les variables u et v sont définies par :

  • u^2-v^2 = (\textstyle\frac{r}{R_s}-1)e^{\textstyle\frac{r}{R_s}}
  • \textstyle\frac{u+v}{u-v} = e^{\textstyle\frac{ct}{R_s}}


On distingue deux cas pour le temps :

  • si r(u,v) > R_s alors \tanh \frac{ct}{2R_s} = \frac{v}{u} ;
  • si r(u,v) < R_s alors \tanh \frac{ct}{2R_s} = \frac{u}{v}.

On obtient la métrique diagonale :

ds^2 = \frac{4.R_s^3}{r}e^{-\textstyle\frac{r}{R_s}}(du^2 - dv^2) + r^2(d\theta^2 + sin^2\theta d \phi^2)

qui est définie pour tout r(u,v)>0. Le temps t est par contre infini au rayon de Schwarzschild (u=\pm v).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Représentation en coordonnées de Kruskal-Szekeres.

À la pathologie singulière de la métrique de Schwarzschild à r = 0 est substituée la relation v^2-u^2=1.

On a donc maintenant deux singularités : \begin{cases} u = \sqrt{v^2-1} \\ u = - \sqrt{v^2-1} \end{cases}.

Les droites r = Cste en coordonnées de Schwarzschild sont les hyperboles u^2-v^2 = Cste en coordonnées de Kruskal. Leurs asymptotes sont les bissectrices u = v et u = -v. Les droites t = Cste en coordonnées de Schwarzschild sont les droites v/u = Cste passant par l'origine en coordonnées de Kruskal. Les singularités sont représentées par les frontières des zones hyperboliques grises sur le dessin ci-contre.

Les géodésiques de type lumière sont les lignes orientées à 45°. Il est facile de vérifier que pour ds = 0 , on a du^2 = dv^2.

La métrique de Schwarzschild différencie deux régions de l'espace-temps délimitées par l'horizon des événements. La région r > 2M est segmentée en deux avec la métrique de Kruskal-Szekeres.

La condition r > R_s correspond u^2 >v^2 à \begin{cases} u > |v| \\ u < - |v| \end{cases}.

La totalité de la géométrie de Schwarzschild est donc représentée par quatre régions différentes en coordonnées de Kruskal.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A.S. Eddington, « A comparison of Whitehead's and Einstein's formulæ »,‎ (DOI 10.1038/113192a0, Bibcode 1924Natur.113..192E), p. 192 url=http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
  2. Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §102, note en bas de page.
  3. Synge, J. L., The gravitational field of a particule, 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
  4. Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §103, note en bas de page. Landau y évoque également le travail de Igor Novikov qui, en 1963, obtient une métrique synchrone aux propriétés similaires.