Métrique de Kruskal-Szekeres

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La métrique de Kruskal-Szekeres est le prolongement analytique maximal de la métrique de Schwarzschild. L'introduction de la métrique de Kruskal-Szekeres apporte des solutions supplémentaires à celles de Schwarzschild, on y retrouve notamment un domaine dual à celui correspondant aux trous noirs : les trous blancs.

Historique[modifier | modifier le code]

En décembre 1915, Karl Schwarzschild décrit la première solution exacte des équations d'Einstein, qui fait apparaitre une singularité inattendue, le rayon de Schwarzschild, dont la nature reste longtemps mal comprise.

En 1924, Arthur Eddington ébauche le premier système de coordonnées non singulier à ce fameux rayon[1]. En 1938, Georges Lemaître élabore une métrique synchrone (métrique de Lemaître) ; Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958[2], et nommée aujourd'hui métrique d'Eddington-Finkelstein (en). Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild[3], tout comme celle de Lemaître : ces métriques ne permettent pas d'envisager la dynamique d'un corps sous le rayon de Schwarzschild. Elles ont toutefois montré que ce rayon n'est pas une singularité réelle, physique, mais seulement pour la métrique choisie par Schwarzschild.

En 1960, Martin Kruskal et George Szekeres (en) construisent une nouvelle métrique permettant d'étudier tous les types de mouvements d'un corps à l'extérieur et sous le rayon de Schwarzschild[4].

La métrique[modifier | modifier le code]

L'étape clé des changements de coordonnées utilisés pour passer de la métrique de Schwarzschild à celle de Kruskal-Szekeres est l'utilisation de la coordonnée tortue de Regge-Wheeler r_* :

r_* = r + r_S \ln\left({r \over r_S} -1\right)

 r_S est le rayon de Schwarzschild \frac{2GM}{c^2} et qui reste continu à r_S.

À partir de cela on peut définir deux nouvelles coordonnées :

u = ct + r_* \;
v = ct - r_* \;

Avec ces coordonnées la partie r-t de la métrique de Schwarzschild devient :

d\,s^2 = - \left(1 - \frac{r_S}{r}\right)\,du\,dv

r est considéré comme une fonction de u et de v donné par :

r + r_S \ln\left({r \over r_S} -1\right) = r_* = (u -v)/2

Les coordonnées hybrides (u, r) ou (v, r) sont appelées coordonnées de Eddington-Finkelstein.

On peut alors réécrire la métrique comme :

ds^2 = - \frac{r_S e^{-r/r_S}}{r} e^{{(u-v)}/{2r_S}}\,du\,dv

En introduisant les nouvelles coordonnées :

U = e^{u/2r_S}
V = -e^{-v/2r_S}

la métrique devient :

ds^2 = -\frac{4r_S^3 e^{-r/r_S}}{r}\,dU\,dV

et ne possède plus de singularité à r = r_S c'est-à-dire à U = 0 ou V = 0.

La solution de Schwarzschild a donc été étendue à toutes les valeurs pour lesquelles r > 0. Comme on peut le vérifier en calculant R_{abcd}R^{abcd}, la singularité existant à r = 0 persiste ; c'est une singularité physique.

La forme donnée par Kruskal demande une ultime transformation de coordonnées :

T = (U+V)/2
X = (U-V)/2

Ce qui donne, en réintroduisant la partie angulaire :

ds^2 = \frac{4r_S^3 e^{-r/r_S}}{r}\,(dX^2 - dT^2) + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2)

Avec les défintions précédentes, le domaine des variables T et X est donné par la condition :

X^2 - T^2 > -1

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A.S. Eddington, « A comparison of Whitehead's and Einstein's formulæ »,‎ Fevrier 1924 (DOI 10.1038/113192a0, Bibcode 1924Natur.113..192E), p. 192 url=http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
  2. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], §102, note en bas de page.
  3. Synge, J. L., The gravitational field of a particule, 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
  4. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], §103, note en bas de page. Landau y évoque également le travail de Igor Novikov qui, en 1963, obtient une métrique synchrone aux propriétés similaires.