Rayon de Schwarzschild

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Rayon de Schwarzschild

Symbole usuel R_s
Dimension [R_s]=\mathrm{L}
Unités de base SI mètre \scriptstyle{(\mathrm{m})}
Expressions R_s=\frac{2GM}{c^2}=\frac{2\mu}{c^2}=2R_g

En physique et en astronomie, le rayon de Schwarzschild[1] est le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwarzschild, lequel est un trou noir dont la charge électrique et le moment cinétique sont nuls. Le demi-rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel[2] est la moitié d'un rayon de Schwarzschild.

Par extension, c'est une longueur intervenant dans la description relativiste du champ gravitationnel créé par une distribution de masse à symétrie sphérique.

Il peut être défini, en première approximation, comme le rayon d'une sphère à partir de laquelle la masse de l'objet est tellement compacte que la vitesse de libération est égale à la vitesse de la lumière dans le vide, de sorte que la lumière elle-même ne peut s'en échapper.

Il entre dans la définition du trou noir, modélisé par Karl Schwarzschild. En effet, si le rayon de la distribution de masse de l'objet considéré est inférieur au rayon de Schwarzschild, l'objet considéré est un trou noir dont l'horizon est la sphère de rayon égal au rayon de Schwarzschild.

Mise en évidence[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est ainsi désigné en hommage à l'astrophysicien allemand Karl Schwarzschild qui l'a mis en évidence, en 1916, en apportant la première solution exacte de l'équation d'Einstein. Cette solution, appelée métrique de Schwarzschild, s'est avérée ultérieurement décrire un trou noir. Incidemment, Schwarzschild signifie en allemand bouclier noir, terme particulièrement adapté au concept de trou noir.

Notation[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est couramment noté R_s.

Calcul[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est obtenu par :

R_s = \frac{2GM}{c^2}

où :

Le rayon de Schwarzschild est ainsi proportionnel à la masse de l'objet : R_s \propto M.

La constante gravitationnelle G et la vitesse de la lumière dans le vide c sont deux constantes physiques :

  • G=6,673\ 84(80) \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2} ;
  • c=2,997\ 924\ 58 \times 10^{8} \ \mbox{m} \ \mbox{s}^{-1}.

Par suite :

\frac{2G}{c^2} = 1,485\ 13(12) \times 10^{-27} \ \mbox{m} \ \mbox{kg}^{-1}

Et :

R_s = M \times 1,485\ 13(12) \times 10^{-27} \ \mbox{m}.

Dimension[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild a la dimension d'une longueur :

[R_s] = L.

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

La valeur approchée du rayon de Schwarzschild est obtenue par :

R_s \approx \frac{M}{M_{\odot}} \times 2954 \;{\rm m\grave{e}tres}

où :

Explication[modifier | modifier le code]

Pour un objet placé dans un champ de gravité d'un corps, la vitesse de libération, notée v_L et exprimée en m/s, est obtenue par :

 v_L = \sqrt{\frac{2GM}{D}},

où :

  • G est la constante gravitationnelle ;
  • M est la masse du corps, exprimée en kilogrammes (kg) ;
  • D est la distance de l'objet au centre du corps, exprimée en mètres (m).

Cette valeur s'obtient facilement en deux temps

1) On dit que, pour un satellite, il y a équilibre entre la force centrifuge et l'attraction de l'astre central de masse M : on obtient une « vitesse de satellisation » v qui est indépendante de la masse du satellite. D . v ² = G . M et v dépend de D (Voir les lois de Kepler).

2) Pour définir la vitesse de libération VL, on recherche l'énergie cinétique requise pour s'échapper de l'attraction de l'astre central. Pour ce faire on intègre, entre D et l'infini, la valeur de cette énergie cinétique à la distance D. On obtient VL2 . D = 2 . G . M . Ici non plus, la masse du satellite n'intervient pas et VL2 = 2 . vD2vD est la vitesse de satellisation à la distance D.

Considérons maintenant un objet (satellite) placé à la surface de cette sphère centrale de rayon R, alors :

v_L = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.

Recherchons la valeur de R pour v_L = c.

c = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \Leftrightarrow c^2 = \frac{2GM}{R} \Leftrightarrow R = \frac{2GM}{c^2}

Il est le rayon critique prévu par la géométrie de Schwarzschild : si une étoile ou tout autre objet atteint un rayon égal ou inférieur à son rayon de Schwarzschild (qui dépend de sa masse), alors elle devient un trou noir, et tout objet s'approchant à une distance de celui-ci inférieure au rayon de Schwarzschild ne pourra s'en échapper.

Notions connexes[modifier | modifier le code]

Paramètre gravitationnel standard[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est lié au paramètre gravitationnel standard, noté \mu et égal au produit de la constante gravitationnelle G par la masse M de l'objet, soit : \mu=GM.

En effet, R_s = \frac{2GM}{c^2} = \frac{2}{c^2} \times{GM} = \frac{2}{c^2} \times{\mu}.

Masse de Planck[modifier | modifier le code]

La masse de Planck, notée m_P, est, par définition, la masse pour laquelle le rayon de Schwarzschild et la longueur d'onde de Compton, notée \lambda_C, sont égaux à la longueur de Planck, notée \ell_P.

Définition et calcul[modifier | modifier le code]

Le terme rayon de Schwarzschild est utilisé en physique et en astronomie pour donner un ordre de grandeur de la taille caractéristique à laquelle des effets de relativité générale deviennent nécessaires pour la description d'objets d'une masse donnée. Les seuls objets qui ne sont pas des trous noirs et dont la taille est du même ordre que leur rayon de Schwarzschild sont les étoiles à neutrons (ou pulsars), ainsi, curieusement, que l'univers observable en son entier.

Les distorsions de l'espace-temps au voisinage d'un trou noir rendent le concept de distance un peu subtil. Le terme de rayon de Schwarzschild se réfère en fait au rayon que l'on associerait à un objet d'une circonférence donnée en géométrie euclidienne : il n'est pas possible de mesurer le rayon d'un trou noir en le traversant (puisque rien ne peut s'en échapper), il est par contre possible d'en mesurer la circonférence en faisant le tour sans y pénétrer.

Ce rayon est de ce fait appelé horizon du trou noir (on ne peut voir ce qui se passe à l'intérieur). Le rayon de Schwarzschild est proportionnel à la masse de celui-ci. La détermination du rayon de Schwarzschild utilise la définition de la vitesse de libération appliquée à la vitesse la lumière : L'énergie cinétique d'un corps en orbite autour du trou noir est donnée par E_{cin} = \frac{1}{2} m v^2 et son énergie potentielle par E_{pot} = \frac{GMm}{R} , où G est la constante de gravitation, M la masse du trou noir, m la masse du corps, v sa vitesse et R leur distance. Si l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie cinétique, le corps en orbite ne peut pas s'échapper. En égalisant ces énergies dans le cas d'un corps se déplaçant à la vitesse de la lumière, on obtient :

R_s = \frac{2GM}{c^2} \approx \frac{M}{M_{\odot}} \times 2954 \;{\rm m\grave{e}tres},

R_s est le rayon de Schwarzschild en mètres, M_{\odot} la masse du Soleil et c la vitesse de la lumière. Toute particule (y compris la lumière) se trouvant à une distance inférieure à R_s du trou noir ne peut pas avoir suffisamment d'énergie cinétique pour se libérer de son influence. La valeur exacte de ce rayon est modifiée dans le cas où l'objet considéré possède une charge électrique non nulle ou un moment cinétique. En pratique, seul le moment cinétique joue un rôle, la charge électrique étant négligeable dans toutes les configurations où des trous noirs sont produits, mais dans tous les cas, le rayon de Schwarzschild exprimé en kilomètres est de l'ordre de trois fois la masse de l'objet considéré exprimée en masses solaires.

Rayon de Schwarzschild des objets astronomiques[modifier | modifier le code]

Du fait de la petitesse de la quantité \frac{G}{c^2} dans les unités usuelles, le rayon de Schwarzschild d'un objet astrophysique est très petit : pour la masse de la Terre, il est de seulement 8,9 millimètre. Puisque le rayon moyen de la Terre est d'environ 6 370 kilomètres, la Terre devrait être comprimée jusqu'à atteindre 4 \times 10^{26} fois sa densité actuelle avant de pouvoir s'effondrer en un trou noir. La masse volumique de l'objet ainsi formé soit 2 \times 10^{27} g/cm3 serait très supérieure à celle du noyau des atomes (valeur typique 2 \times 10^{17} g/cm3). Il n'est pas facile de former des trous noirs de faible masse.

Un trou noir stellaire typique a un rayon qui se compte en dizaines de kilomètres. Pour un objet de la masse du soleil, le rayon de Schwarzschild est d'environ 2,95 kilomètres, ce qui est bien inférieur aux 700 000 kilomètres du rayon actuel du Soleil. Le rayon de Schwarzschild du Soleil est également sensiblement plus petit que le rayon que le Soleil aura après avoir épuisé son carburant nucléaire, soit plusieurs milliers de kilomètres quand il sera devenu une naine blanche. Des étoiles plus massives peuvent cependant s'effondrer en trous noirs à la fin de leur vie. Dans le cas d'un trou noir supermassif, du genre de ceux que l'on trouve au centre de nombreuses galaxies, le trou noir a une masse de quelques millions à plusieurs milliards de masses solaires, pour un rayon de plusieurs millions à plusieurs milliards de kilomètres, soit moins que la taille de l'orbite de Neptune. Cette petite taille rend difficile la détection directe des trous noirs, faute d'une résolution angulaire suffisante. Il reste cependant possible de pouvoir imager directement le trou noir central de notre Galaxie par des méthodes d'interférométrie à très longue base (VLBI). D'éventuels trous noirs primordiaux, de très faible masse (quelques milliards de tonnes) pourraient éventuellement exister. De tels trous noirs seraient de taille microscopique, et ne seraient détectables que par leur rayonnement, résultant du phénomène d'évaporation des trous noirs. Cependant, suite aux connaissances qui prévalent actuellement :

-          rien ne prouve que la matière puise indéfiniment s’effondrer en créant une singularité centrale ;

-          la plus grande masse volumique admissible est celle d’un fluide neutronique.

Le rayon de Schwarzschild, impliquant l’augmentation de la masse volumique du trou noir avec la diminution de sa masse globale, conduirait à dire qu’il n’existe pas de trou noir dont la masse est inférieure à environ trois masses solaires. On retrouve ainsi la limite d’Oppenheimer - Volkoff pour laquelle une étoile neutron, ou pulsar, cesse d’émettre et disparaît du champ des télescopes. (Attention : lire la discussion)

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild apparaît dans l'expression de nombreux effets relativistes, tels que l'effet Shapiro.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Entrée « rayon de Schwarzschild », dans Richard Taillet, Pascal Febvre et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université,‎ 2009 (ISBN 978-2-8041-0248-7, notice BnF no FRBNF42122945), p. 468, lire en ligne sur books.google.fr (consulté le 12 juin 2014)
  2. (en) Gravitational radius sur astrophysicsformulas.com (consulté le 12 juin 2014)

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Cours astr160 de l'université Yale

Voir aussi[modifier | modifier le code]