Trou noir de Schwarzschild

En astrophysique, le trou noir de Schwarzschild^[1] est, par définition, un trou noir :

de masse $M$ strictement positive : $M>0$ ;
dont la charge électrique $Q$ est nulle : $Q=0$ ;
dont le moment cinétique $J$ est nul : $J=0$ , c'est-à-dire qui n'est pas en rotation ;
dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ;
dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon $R_{h}$ égal au rayon de Schwarzschild $R_{s}$ : $R_{h}=R_{s}$ ;
dont l'ergosphère est confondue avec l'horizon des événements, de sorte qu'il n'existe pas d'ergorégion^[2].

Plus formellement, c'est le trou noir obtenu en résolvant l'équation d'Einstein de la relativité générale, pour une masse immobile, sphérique, qui ne tourne pas et sans charge électrique. La métrique satisfaisant à ces conditions est alors appelée la métrique de Schwarzschild.

Le trou noir de Schwarzschild s'interprète comme l'« état fondamental » — c'est-à-dire comme l'« état de plus basse énergie possible » — d'un trou noir de masse donnée^[3]. Il représente l'état final d'un trou noir de Kerr de l'ergorégion duquel toute l'énergie de rotation aurait été extraite par processus de Penrose^[4]^,^[5]^,^[6].

Historique[modifier | modifier le code]

L'éponyme^[7] du trou noir de Schwarzschild^[8] est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916).

Le terme de trou noir "black hole" est inventé en 1967 par le physicien américain John Wheeler. Il avait déjà été imaginé au XVIII^e siècle par Laplace : « Un astre lumineux de même diamètre que la Terre, dont la densité serait deux cent cinquante fois plus grande que celle du Soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu’à nous ». Cette idée n’a rien à voir ni avec la relativité générale ni avec Schwarzschild puisque prévu par la mécanique newtonienne.

La métrique de Schwarzschild, de laquelle dérivent les solutions de l'équation d'Einstein qu'on identifie aux trous noirs de Schwarzschild, a été obtenue la première fois par Schwarzschild, peu après la publication de la théorie de la relativité générale par Albert Einstein en 1915.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Masse[modifier | modifier le code]

L'espace-temps, dont la métrique de Schwarzschild décrit la géométrie, ne contient un trou noir que si la masse est strictement positive $(m > 0)$ et le vide $(T μν = 0)$ s'étend jusqu'au rayon de Schwarzschild^[9]^,^[10].

La masse $M$ d'un trou noir de Schwarzschild est un nombre réel positif non nul : $M\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ , soit $\left\{M\in \mathbb {R} \mid M>0\right\}$ ^[11]. En effet, avec une masse négative, la métrique de Schwarzschild exhibe une singularité nue^[11].

La masse $M$ d'un trou noir de Schwarzschild est égale à la masse irréductible $M_{irr}$ d'un trou noir de Kerr^[12].

Dernière orbite circulaire stable[modifier | modifier le code]

Le rayon de la dernière orbite circulaire stable ( $r ISCO$ ) sur laquelle une particule massive peut se mouvoir autour d'un trou noir de Schwarzschild est donnée par^[13]^,^[14] :

$r_{\mathrm {ISCO} }={\frac {6GM}{c^{2}}}$ .

Horizon des événements[modifier | modifier le code]

L'aire de l'horizon des événements ( $A H$ ) d'un trou noir de Schwarzschild est celle d'une sphère ( $A H = 4πr 2$ ) dont le rayon aréolaire ( $r = \sqrt A H / 4π$ ) est, par définition, le rayon de Schwarzschild ( $R S = 2GM / c 2$ )^[15]^,^[16]^,^[17] :

A_{\mathrm {H} }=4\pi R_{\mathrm {S} }^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}}

.

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild coïncide avec d'autres horizons :

horizon de Killing (en)^[18] ;
horizon apparent (en)^[18].

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild est dit surface de décalage infini vers le rouge : des photons émis par une source statique juste à l'extérieur de l'horizon ont une longueur d'onde infinie quand elle est mesurée par des observateurs statiques à l'infini^[9].

Il est aussi dit limite statique : il ne peut pas exister d'observateurs statiques à l'intérieur de l'horizon^[9].

À l'horizon des événements, la gravité de surface ( $κ H$ ) est donnée par^[19] :

$\kappa _{\mathrm {H} }={\frac {GM}{R_{\mathrm {S} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{4GM}}$ .

Singularité[modifier | modifier le code]

La singularité gravitationnelle, localisée au-delà de l'horizon, est ponctuelle, future, du genre espace^[20].

Absence d'ergorégion[modifier | modifier le code]

Dans un espace-temps stationnaire, l'ergorégion est la région où le champ de Killing associé à la stationnarité devient de genre espace^[21]. Dans le cas d'un trou noir de Schwarzschild, la limite de l'ergorégion coïncide avec l'horizon des événements^[21]. Ainsi, nulle ergorégion ne s'étend à l'extérieur d'un trou noir de Schwarzschild^[21].

Théorème de Birkhoff[modifier | modifier le code]

Un théorème remarquable dû à Birkhoff affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique^{[N 1]}.

Ce théorème a une conséquence importante :

Un trou noir de Schwarzschild dans le vide, n'étant pas soumis à une quelconque interaction, ne peut pas émettre d'onde gravitationnelle.

Théorème de calvitie[modifier | modifier le code]

Le théorème d'unicité d'Israel^{[N 2]} ou, en forme courte, le théorème d'Israel^{[N 3]} est le théorème qui établit l'unicité du trou noir de Schwarzschild^[23]^,^[24]. Il est le premier des théorèmes d'unicités relatifs aux trous noir^[25]^,^[26]. Son éponyme est Werner Israel (1931-2022) l'a présenté en 1967^[25]^,^[27]. Antérieurement, Georges Darmois (1888-1960) avait conjecturé l'unicité du trou noir de Schwarzschild^[28]. La preuve du théorème a été améliorée par Müller zum Hagen et al. en 1973^[29] et 1974 et par Robinson en 1974 et 1977^[30]. De nouvelles preuves du théorème ont été apportées par Simon en 1985, par Bunting et Masood ul Alam en 1987 et par celui-ci en 1992^[30].

Le théorème de calvitie dit la chose suivante :

Un trou noir est entièrement décrit par trois paramètres essentiels, qui à eux seuls, permettent de retrouver tous les autres :

la masse
la charge électrique
sa rotation (son moment angulaire)

Lorsqu'une étoile s'effondre en un trou noir, les valeurs des paramètres cités au-dessus sont conservées. Ce qui veut dire qu'un trou noir de Schwarzschild, de masse M, de charge nulle et de moment angulaire nul est né à partir d'une étoile ayant un moment angulaire nul, de charge nulle et ayant la même masse.

La nécessité d'avoir une étoile de charge et de moment angulaire nuls font que, dans l'absolu, ce genre de trou noir est plus théorique qu'autre chose. Cependant, en pratique, ce modèle reste satisfaisant pour la plupart des trous noirs d'origine stellaire, la charge réelle d'une étoile étant faible et sa vitesse de rotation négligeable par rapport à la vitesse de la lumière.

Tous les autres paramètres que les trois cités au-dessus, comme la température, sa pression... disparaissent. On ne peut donc, à partir d'un trou noir dont on connaît masse, charge et moment angulaire, retrouver les autres paramètres de l'étoile génitrice.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Précisons toutefois que ce théorème s'applique uniquement dans un espace à quatre dimensions. Si l'espace-temps possède plus de dimensions alors il est possible de trouver des solutions sphériques et non statiques en général.
↑ En anglais, Israel's uniqueness theorem^[22].
↑ En anglais, Israel theorem^[23].

Références[modifier | modifier le code]

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↑ Guidry 2019, chap. 17, sect. 17.3, § 17.3.5, p. 386.
↑ Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4,§ 6.4.2, p. 93.
↑ Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 2, sect. 20.1, p. 450.
↑ Ohanian et Ruffini 2013, chap. 8, sect. 8.5, p. 354.
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↑ Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700, col. 2.
↑ ^{a b et c} Baumgarte et Shapiro 2010, chap. 1^er, sec. 1.2, p. 10.
↑ Woodhouse, chap. 9, sec. 9.1, p. 122.
↑ ^{a et b} Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.
↑ Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, part. II, chap. 9, § 9.1, p. 494.
↑ Maggiore 2018, § 14.2.2, p. 227.
↑ Shäfer 2015, § 7.2, p. 611.
↑ Alekseev, Polychronakos et Smedbäck 2003, p. 296, col. 1.
↑ Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4, § 6.4.2, p. 93.
↑ Romero et Vila 2013, chap. 3, § 3.2, p. 84.
↑ ^{a et b} Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, partie II, chap. 7, sec. 7.3, p. 477.
↑ Kiefer 2012, chap. 1^er, sect. 1.1, § 1.1.5, p. 14.
↑ Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.singularité (2), p. 627, col. 2.
↑ ^{a b et c} Maggio, Pani et Raposo 2022, p. 1157.
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↑ ^{a et b} Choquet-Bruhat 2008, chap. XIV, sec. 10, § 10.1, p. 475.
↑ Robinson 1997.
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↑ Mazur 1987, introduction, p. 131.
↑ Israel 1967.
↑ Choquet-Bruhat 2008, chap. XIV, sec. 7, introduction, p. 466.
↑ Müller zum Hagen, Robinson et Seifert 1973.
↑ ^{a et b} Heusler 1998, sec. 2, p. 160.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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Dictionnaires[modifier | modifier le code]

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Ouvrages fondamentaux[modifier | modifier le code]

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Théorème d'Israel[modifier | modifier le code]

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[Robinson 1997] (en) David C. Robinson, « Black hole uniqueness theorems », Classical and Quantum Gravity, vol. 14, n^o 3,‎ mars 1997, p. 25 (OCLC 4654377537, DOI 10.1088/0264-9381/14/3/025, S2CID 120057895).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) « Schwarzschild black hole » [« Trou noir de Schwarzschild »], sur scienceworld.wolfram.com d'Eric W. Weisstein.
Notices d'autorité :
- LCCN

[22] Précisons toutefois que ce théorème s'applique uniquement dans un espace à quatre dimensions. Si l'espace-temps possède plus de dimensions alors il est possible de trouver des solutions sphériques et non statiques en général.

[24] En anglais, Israel's uniqueness theorem^[22].

[26] En anglais, Israel theorem^[23].

[1] Entrée « trou noir de Schwarzschild », dans Richard Taillet, Pascal Febvre et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université, 2009, XII-741 p. (ISBN 978-2-8041-0248-7, BNF 42122945), p. 561, lire en ligne

[2] Éric Gourgoulhon, Relativité générale, Paris, Observatoire de Paris, universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI, École normale supérieure, 2013 (lire en ligne [PDF]), p. 134

[Guidry2019386<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>,_<span_class="nowrap">sect._17.3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;17.3.5</span>-3] Guidry 2019, chap. 17, sect. 17.3, § 17.3.5, p. 386.

[Chow200793<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<span_class="nowrap">sect._6.4</span>,<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.4.2</span>-4] Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4,§ 6.4.2, p. 93.

[FerrariGualtieriPani2020450<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap">sect._20.1</span>-5] Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 2, sect. 20.1, p. 450.

[OhanianRuffini2013354<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<span_class="nowrap">sect._8.5</span>-6] Ohanian et Ruffini 2013, chap. 8, sect. 8.5, p. 354.

[Ridpath_2012Ridpath_201257''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''<span_class="lang-en"_lang="en">black_hole</span>-7] Ridpath 2012, s.v.black hole, p. 57.

[TailletVillainFebvre2013700,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''trou_noir_de_Schwarzschild-8] Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700, col. 2.

[BaumgarteShapiro201010<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1.2-9] {a b et c} Baumgarte et Shapiro 2010, chap. 1^er, sec. 1.2, p. 10.

[Woodhouse122<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.1-10] Woodhouse, chap. 9, sec. 9.1, p. 122.

[Choquet-Bruhat200878<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_5</span>-11] {a et b} Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.

[DeruelleUzan2018494<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1</span>-12] Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, part. II, chap. 9, § 9.1, p. 494.

[Maggiore2018227<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;14.2.2</span>-13] Maggiore 2018, § 14.2.2, p. 227.

[Shäfer2015611<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.2</span>-14] Shäfer 2015, § 7.2, p. 611.

[AlekseevPolychronakosSmedbäck2003296,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-15] Alekseev, Polychronakos et Smedbäck 2003, p. 296, col. 1.

[Chow200793<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_6.4</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.4.2</span>-16] Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4, § 6.4.2, p. 93.

[RomeroVila201384<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.2</span>-17] Romero et Vila 2013, chap. 3, § 3.2, p. 84.

[DeruelleUzan2018477<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;3,_partie_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.3-18] {a et b} Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, partie II, chap. 7, sec. 7.3, p. 477.

[Kiefer201214<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.1</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.1.5</span>-19] Kiefer 2012, chap. 1^er, sect. 1.1, § 1.1.5, p. 14.

[TailletVillainFebvre2013627,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''singularité_(2)-20] Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.singularité (2), p. 627, col. 2.

[MaggioPaniRaposo20221157-21] {a b et c} Maggio, Pani et Raposo 2022, p. 1157.

[Poisson_et_Will264<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.6,_introduction-23] Poisson et Will, chap. 5, sec. 5.6, introduction, p. 264.

[Choquet-Bruhat2008475<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="14"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">XIV</span></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;10,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.1</span>-25] {a et b} Choquet-Bruhat 2008, chap. XIV, sec. 10, § 10.1, p. 475.

[Robinson1997-27] Robinson 1997.

[FrolovZelnikov2011359<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;10</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;10.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.2.5</span>-28] {a et b} Frolov et Zelnikov 2011, chap. 10, sec. 10.2, § 10.2.5, p. 359.

[Mazur1987131introduction-29] Mazur 1987, introduction, p. 131.

[Israel1967-30] Israel 1967.

[Choquet-Bruhat2008466<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="14"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">XIV</span></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7,_introduction-31] Choquet-Bruhat 2008, chap. XIV, sec. 7, introduction, p. 466.

[Müller_zum_HagenRobinsonSeifert1973-32] Müller zum Hagen, Robinson et Seifert 1973.

[Heusler1998160<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2-33] {a et b} Heusler 1998, sec. 2, p. 160.

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v · m Trou noir
Type	Schwarzschild En rotation Chargé (en) Virtuel
Dimension	Micro Extrémal Électronique Stellaire De masse intermédiaire Supermassif Quasar galaxie active blazar amas
Formation	Évolution stellaire Effondrement gravitationnel Étoile à neutrons autres Objet compact étrange exotique Limite d'Oppenheimer-Volkoff Naine blanche Supernova Hypernova Unnova Sursaut gamma
Propriété	Thermodynamique entropie Rayon de Schwarzschild Relation M-sigma Horizon physique horizon d'un trou noir horizon des événements dyadosphère Oscillations quasi périodiques Sphère de photons Ergosphère Évaporation Processus de Penrose Processus de Blandford–Znajek (en) Accrétion de Bondi Spaghettification Événement de rupture par effet de marée Lentille gravitationnelle
Modèle	Singularité gravitationnelle théorèmes sur les singularités Trou noir primordial Gravastar Étoile noire (mécanique newtonienne) Étoile d'énergie noire (en) Étoile noire (semi-classique) Effondrement gravitationnel objet à magnétosphère s'effondrant éternellement (en) Fuzzball Trou blanc Singularité nue Singularité de l'anneau Singularité d'Immirzi (en) Paradigme de la membrane (en) Kugelblitz Trou de ver Quasi-étoile
Problèmes	Théorème de calvitie Paradoxe de l'information Censure cosmique Trou noir sans singularité Principe holographique Complémentarité Mur de feu ER = EPR
Métrique	Schwarzschild Kerr Reissner–Nordström Kerr–Newman
Observation	Rossi X-ray Timing Explorer Système stellaire hyper compact
Liste	Trous noirs Les plus massifs Quasars Microquasars
Autre	Historique Voyage vers un trou noir (en)