Échelle logarithmique

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Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite [Ox), particulièrement adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les applications. De plus elle permet de rendre accessible une large gamme de valeurs de même signe.

Définition[modifier | modifier le code]

L'échelle logarithmique place les valeurs sur l'axe en progression exponentielle. Des points écartés d'une même distance représentent des valeurs dans le même rapport.

L'échelle logarithmique n'est définie que pour des valeurs strictement positives.

Comparaison d'une échelle linéaire et d'une échelle logarithmique[modifier | modifier le code]

LogLinAxes.png

L'illustration ci-dessus montre les deux types d'échelles :

  • Avec l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante.
  • Avec l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut 10 sont à distance constante.

Sur l'échelle logarithmique, les grands nombres sont comprimés, rapprochés de 1 et facilement représentés, en revanche les nombres inférieurs à 1 sont dilatés et très vite renvoyés vers l'infini négatif.

Unités logarithmiques[modifier | modifier le code]

On utilise parfois des unités logarithmiques, c'est-à-dire dont la valeur est le logarithme du rapport entre deux valeurs d'une grandeur. La base logarithmique choisie dépend des habitudes de la discipline qui les utilisent :

  • le logarithme népérien, dont la base est e, facilite certains calculs et s'évalue plus directement grâce à la série de Taylor, mais ne permet pas d'accéder intuitivement à l'ordre de grandeur décimal. Le néper est le logarithme népérien du rapport entre deux puissances.
  • logarithme décimal (base 10) donne directement une notion de l'ordre de grandeur, puisque la caractéristique, c'est-à-dire le signe et la partie avant la virgule, le donne directement. Sa lisibilité le rend utile dans de nombreux domaines technologiques, bien que sous une forme modifiée. Il sert en statistiques, et en chimie définit le PH.
  • Le décibel, couramment utilisé en télécommunications, électronique et acoustique se définit comme 10 fois le logarithme décimal du rapport entre deux puissances ; mais si les tables de logarithmes et plus tard, les calculatrices de poche n'avaient pas donné plus facilement accès au logarithme décimal, on dirait avec rigueur que le décibel est le logarithme de base 100,1 (soit environ 1,26) du rapport entre deux puissances. En effet, c'est à ce multiplicateur que correspond un décibel.
  • le logarithme de base 2 sert en informatique, avec les bits et en musique, avec les octaves.
  • De la même façon, le demi-ton de la gamme tempérée en musique, qui est la douzième partie de l'octave, est le logarithme de base 21÷12 (soit environ 1,06) de la fréquence.

Une échelle linéaire graduée dans une unité logarithmique équivaut à une échelle logarithmique, du point de vue de la grandeur considérée.

Usage[modifier | modifier le code]

La règle à calcul tire parti des propriétés de l'échelle logarithmique pour permettre d'effectuer des multiplications.

Les graphiques en repère semi-logarithmique servent à montrer l'évolution de grandeurs dont l'une a une évolution linéaire (en général, la variable indépendante sur l'axe des abscisses), et l'autre une évolution exponentielle.

Exemple: évolution des prix  :

En économie, les valeurs des monnaies internationales, des actions, des matières premières et autres produits de commerce, soumis à une inflation des prix, s'inscrivent en échelle logarithmique sur l'axe des ordonnées, tandis que le temps s'inscrit en échelle linéaire sur l'axe des abscisses.

Exemple: Réponse en fréquence  :

En électronique, la réponse en fréquence d'un système, et particulièrement d'un filtre, se représente généralement sur un diagramme semi-logarithmique, avec une échelle logarithmique pour les fréquences en abscisses et une échelle linéaire sur l'axe des ordonnées, graduée en décibels, par rapport à la tension obtenue à une certaine fréquence (par exemple, 1 000 Hz).

Comme les décibels sont une unité logarithmique, du point de vue de la tension électrique ou des rapports de tension, l'échelle est également logarithmique, ce qui permet, dans le Diagramme de Bode, les tracés asymptotiques, en lignes droites.

Les graphiques en repère logarithmique sur les deux axes conviennent aux grandeurs dont tant la variable indépendante que la variable dépendante peuvent prendre des valeurs extrêmement différentes. Lorsque l'une est proportionnelle à l'élévation de l'autre à une puissance, le graphique dessine une droite dont la pente est proportionnelle à l'exposant.

Construction de l'échelle[modifier | modifier le code]

On connait les valeurs minimale xmin et maximale xmax que l'on a à représenter, et la longueur l de l'échelle entre ces deux valeurs.

La longueur l correspond donc à une multiplication par r = xmax ÷ xmin.

Le point placé au milieu est à la même distance de xmin et de xmax. La valeur qui correspond au point du milieu est la moyenne géométrique des valeurs extrêmes √(xmin × xmax).

Plutôt que calculer ainsi de proche en proche, on utilise la propriété fondamentale des logarithmes:

log(a × b) = log(a) + log(b)

On peut calculer les rapports de valeurs grâce à la fonction exponentielle, qui est la fonction réciproque de la fonction logarithmique.

Pour graduer l'axe selon ses besoins, on peut calculer le rapport de valeur par unité de longueur sur l'axe. Le logarithme de la progression par unité de longueur nombre s'obtient par une simple division : log(rl et la valeur de la progression est r1/l.

De la sorte, si on divise la distance l en n segments égaux, le rapport de valeurs qui correspond à chaque segment est de r1/n. La longueur totale, correspondant à l'écart entre xmin et xmax, correspond ainsi bien à une multiplication par r, tandis que la longueur de chaque segment correspond à une multiplication par la même quantité.

Les points également espacés désignent des valeurs en progression géométrique.

Exemple de construction d'une échelle logarithmique  :
Logarithmic scale.png

Échelle logarithmique à trois modules décimaux

  • Valeur minimale : 0,1
  • Valeur maximale : 100
  • écart relatif : r = 100 ÷ 0,1 = 1000
  • longueur de l'axe : 588 pixels

On veut que les multiples de 10 soient indiqués. Pour le rapport 1000, il y a trois multiplications par 10, correspondant à trois modules de 588 ÷ 3 = 196 pixels de long.

À l'intérieur de ces modules, on veut indiquer l'emplacement de chaque chiffre, de 2 à 9.

  • La multiplication par 2 correspond à la distance entre 0.1 et 0,2, 1 et 2, 10 et 20. La longueur correspondante s'obtient par une règle de trois sur les logarithmes : \frac{588 \times \log(2)}{ \log(1000)}, ce qui donne 59 pixels.
  • De même la multiplication par 3, \frac{588 \times \log(3)}{ \log(1000)} donne 93,5 pixels entre 0,1 et 0,3, 1 et 3 et 10 et 30. On est obligé d'arrondir, évidemment.
  • On en tire facilement leurs multiples : la distance entre 1 est 4 est celle de deux multiplications par deux, donc 118 pixels ; entre 1 et 8, celle de trois multiplications par deux, soit 177 ; entre 1 et 6 celle d'une multiplication par trois et d'une multiplication par deux, soit 93,5 + 59 = 152,5 pixels ; et entre 1 et 9, celle de deux multiplications par 3, soit 187 pixels.
  • La graduation 5 s'obtient facilement : puisque deux fois cinq font dix, la longueur de 0,5 à 1, de 5 à 10, de 50 à 100, est de 59 pixels (on peut donc noter que la multiplication par 5 correspond à une longueur de 196 - 59 = 137 pixels).
  • Il ne reste que le 7 à placer, par le même procédé de règle de trois sur les logarithmes.
  • La longueur de ces segments vaut pour les multiplications, et aussi pour les divisions.
  • Un déplacement de un pixel vers la droite correspond à une augmentation de exp(log(1000)÷588) ≈ 1.01181716053

Chacun des modules est reproduit trois fois, la forme est invariable, seule la légende des points change.

note: La base de logarithme dans laquelle s'effectuent les calculs n'a aucune importance.

Construction sans machine à calculer

  • 2 multiplié dix fois par lui-même donne 1024. Il y a donc, à 2 % près, dix fois la longueur du segment correspondant à la multiplication par 2 entre les deux extrémités de l'échelle de 0,1 à 100, et donc ce segment mesure 588 ÷ 10 ≈ 59 pixels. Avec cette longueur, on peut placer les 2, 4, 5 et 8 comme indiqué ci-dessus.
  • 7 × 7 donne 49, soit 50 à 2 % près. La longueur pour 100 est de deux modules de 196 pixels, soit 392 pixels, on en retranche la longueur pour 2 puisqu'il faut diviser la valeur par deux, reste 333 ; et la valeur pour 7 est la moitié, soit 166,5, qu'on arrondit à 166 puisque 7 × 7 est un peu moins que 50.
  • 3 × 3 font 9. On connaît la longueur correspondant à 8, 3 × 59 = 177 pixels, celle correspondant à 10, 196 pixels, la longueur correspondant à 9 est entre les deux, (177 + 196) ÷ 2 = 186,5 ; celle correspondant à 3 est la moitié, qu'on arrondit à 93.

Quand une valeur particulière est prise pour référence (par exemple, 1), la distance d'un point représentant un nombre à celui représentant cette valeur s'appelle sa coordonnée logarithmique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]