Suite du traiteur paresseux

Crêpe découpé en sept morceaux avec trois coupes droites.

La suite du traiteur paresseux^[1], en anglais the lazy caterer's sequence, est une suite donnant le nombre maximum de morceaux d'un disque (une crêpe ou une pizza est généralement utilisée pour décrire la situation) qui peut être obtenu avec un certain nombre de coupes droites. Par exemple, trois coupes à travers une crêpe produiront six morceaux si les traits de coupe se rencontrent en un même point intérieur au disque, mais jusqu'à sept dans le cas contraire.

La généralisation de cette suite en trois dimensions est les nombres gâteaux (en).

Formule et suite

Le nombre maximal $p$ de morceaux qui peuvent être obtenus avec un nombre de coupes $n$ , où $n\geq 0$ , est donné par la formule

p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.

À l'aide des coefficients binomiaux, la formule peut être exprimée comme

p=1+{\tbinom {n+1}{2}}={\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}.

Cette suite (suite A000124 de l'OEIS), en commençant avec $n=0$ , donne les nombres suivants

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Chaque nombre est égal à 1 plus un nombre triangulaire.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lazy caterer's sequence » (voir la liste des auteurs).
(en) T. L. Moore, « Using Euler's formula to solve plane separation problems », The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 22, n^o 2,‎ 1991, p. 125–130 (DOI 10.2307/2686448, JSTOR 2686448).
(en) J. Steiner, « Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space") », J. Reine Angew. Math., vol. 1,‎ 1826, p. 349–364.
(en) J. E. Wetzel, « On the division of the plane by lines », American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 85, n^o 8,‎ 1978, p. 647–656 (DOI 10.2307/2320333, JSTOR 2320333, lire en ligne).