Identité de Lagrange

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l'identité de Lagrange, découverte par Joseph Louis Lagrange, est une formule transformant un produit de sommes de carrés en une autre somme de carrés ; elle a d'importantes conséquences sur les propriétés du produit vectoriel.

Formulations algébriques de l'identité[modifier | modifier le code]

L'identité de Lagrange est[1],[2] :


\begin{align}
\biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2
&& =& \sum_{1 \le i<j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2 &\\
&\biggl(& =& {1 \over 2} \sum_{1 \le i,j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2 &\biggr)
\end{align}

Elle s'applique à deux familles quelconques (a1, a2, … , an) et (b1,b2, … , bn) de nombres réels ou complexes, ou plus généralement à des éléments d'un anneau commutatif. C’est un cas particulier de l'identité de Binet-Cauchy.

Dans le cas réel, on peut l'exprimer de façon plus compacte avec une notation vectorielle[3] :


\| \mathbf a \|^2 \ \| \mathbf b \|^2 - (\mathbf {a \cdot b })^2
 = \sum_{1 \le i < j \le n} \left( \det\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ a_j & b_j\end{pmatrix} \right)^2

a et b sont des vecteurs de ℝn. Cette expression peut s'étendre à ℂn en remplaçant le produit scalaire par un produit hermitien et le carré d'un nombre complexe z par le carré de son module |z|[4],[2] :


\biggl( \sum_{k=1}^n |a_k|^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\biggr) - \biggl|\sum_{k=1}^n \overline{a_k} b_k\biggr|^2 = \sum_{1 \le i<j \le n} |a_i b_j - a_j b_i|^2

c'est-à-dire :


\| \mathbf a \|^2 \ \| \mathbf b \|^2 - |\mathbf {a \cdot b }|^2
 = \sum_{1 \le i < j \le n} \left| \det\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ a_j & b_j\end{pmatrix} \right|^2.

Le membre de droite de l'égalité étant positif et ne s'annulant que lorsque a et b sont colinéaires, l'identité de Lagrange entraîne l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité dans le cas des espaces euclidiens (tels que ℝn), et son analogue dans les espaces hermitiens (comme ℂn).

Les cas particuliers n = 2 et n = 3 ont des interprétations géométriques :

Démonstration de la version algébrique[modifier | modifier le code]

La preuve suivante[5] correspond à un calcul algébrique direct, et est par conséquent valable dans tout anneau commutatif.


\begin{align}\sum_{1 \le i<j \le n} (a_i b_j - a_j b_i)^2
&=\sum_{1 \le i<j \le n} (a_i^2 b_j^2 - 2a_i b_i a_j b_j + a_j^2 b_i^2)\\
&=\sum_{\begin{smallmatrix}1 \le i,j \le n \\ i\ne j\end{smallmatrix}} (a_i^2 b_j^2 - a_i b_i a_j b_j)\\
&=\sum_{1 \le i,j \le n} (a_i^2 b_j^2 - a_i b_i a_j b_j)\\
&=\left( \sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{j=1}^n b_j^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)\left(\sum_{j=1}^n a_j b_j\right).\end{align}

L'identité de Lagrange en algèbre extérieure[modifier | modifier le code]

Utilisant le produit extérieur, l'identité de Lagrange peut s'écrire :

(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b).

Elle donne donc la norme du produit extérieur de deux vecteurs en fonction de leur produit scalaire :

\|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2}.

L'identité de Lagrange et le produit vectoriel[modifier | modifier le code]

En trois dimensions, l'identité de Lagrange dit que le carré de l'aire d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des aires de ses projections sur les trois plans de coordonnées. Algébriquement, si a et b sont des vecteurs de ℝ3 de norme |a| and |b|, on peut écrire l'identité à l'aide du produit vectoriel et du produit scalaire[6],[7] :

 |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf {a \cdot b})^2 = |\mathbf {a \times b}|^2.

En effet, le membre de gauche vaut

|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2(1-\cos^2\theta) = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2\sin^2\theta

où θ est l'angle formé par les vecteurs a et b ; c'est l'aire du parallélogramme de côtés |a| et |b| et d'angle θ (voir aussi l'article Déterminant (mathématiques)), et donc le membre de gauche est le carré de cette aire. Le produit vectoriel de droite est défini par

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k},

vecteur dont les coordonnées sont (en valeur absolue) les aires des projections du parallélogramme sur les plans yz, zx, et xy respectivement.

En dimension 7[modifier | modifier le code]

Article principal : Produit vectoriel en dimension 7.

Pour des vecteurs a et b de ℝ7, l'identité de Lagrange peut s'écrire, comme dans le cas de ℝ3, sous la forme[8] :

|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 -|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2.

Cependant, le produit vectoriel en dimension 7 n'a pas toutes les propriétés du produit vectoriel usuel. Ainsi, par exemple, il ne vérifie pas l'identité de Jacobi[8].

Interprétation par les quaternions[modifier | modifier le code]

Un quaternion p est défini comme la somme d'un scalaire t et d'un vecteur v :

p = t + \mathbf v = t + x \ \mathbf  i +y \ \mathbf j + z\  \mathbf k.

Le produit de deux quaternions p = t + v et q = s + w est défini par

pq = (st - \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) + s\mathbf{w}+ t\mathbf{v}+\mathbf{v}\times\mathbf{w}.

Le conjugué de q est

\overline{q} = t - \mathbf{v},

et le carré de sa norme est

|q|^2 = q\overline{q} = t^2 \ + \ x ^2   + \ y^2 \ +\  z^2.

On a la multiplicativité de la norme, c'est-à-dire que, pour des quaternions p et q, on a[9] :

|pq| = |p| |q|.

Les quaternions p et q sont dits imaginaires (ou purs) si leur partie scalaire est nulle, ou encore si

p = \mathbf{v},\quad q=\mathbf{w}.

L'identité de Lagrange (en dimension 3) revient simplement à affirmer la multiplicativité de la norme pour les quaternions imaginaires

|\mathbf{v}\mathbf{w}|^2 = |\mathbf{v}|^2|\mathbf{w}|^2

puisque, par définition,


|\mathbf{v}\mathbf{w}|^2 = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^2 + |\mathbf{v}\times\mathbf{w}|^2.

(La multiplicativité pour des quaternions quelconques donne une autre identité importante : l'identité des quatre carrés d'Euler.)

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lagrange's identity » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press,‎ 2003, 2e éd. (ISBN 978-1-42003522-3, lire en ligne).
  2. a et b (en) Robert E. Greene et Steven G. Krantz (en), Function Theory of One Complex Variable, AMS,‎ 2006, 3e éd. (ISBN 978-0-82183962-1, lire en ligne), « Exercise 16 », p. 22.
  3. (en) Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov et Volker Reitmann, Dimension Theory for Ordinary Differential Equations, Vieweg+Teubner Verlag,‎ 2005 (ISBN 3519004372, lire en ligne), p. 26.
  4. (en) J. Michael Steele (en), The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, CUP,‎ 2004 (ISBN 978-0-521-54677-5, lire en ligne), « Exercise 4.4: Lagrange’s identity for complex numbers », p. 68-69.
  5. Voir par exemple page 4 du chapitre 7 de ce livre de Frank Jones, Rice University.
  6. (en) Howard Anton et Chris Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, John Wiley & Sons,‎ 2010, 10e éd. (ISBN 0470432055, lire en ligne), « Relationships between dot and cross products », p. 162.
  7. (en) Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, CUP,‎ 2001, 2e éd. (ISBN 978-0-521-00551-7, lire en ligne), p. 94.
  8. a et b Lounesto 2001. Voir en particulier § 7.4 Cross products in ℝ7, p. 96.
  9. (en) Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, PUP,‎ 2002 (ISBN 978-0-69110298-6, lire en ligne), chap. § 5.6 (« The Norm »), p. 111.