Équation produit-nul

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En mathématiques, une équation produit-nul est une équation dont :

  • un membre est donné sous forme de produit ;
  • l'autre membre est égal à zéro.

On résout généralement ce type d'équation en s'appuyant sur le théorème suivant :

Théorème — Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit à résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation d'inconnue x : x ² = 9.

On voit que cette équation est équivalente à x ² - 9 = 0; qui se factorise en (x+3)(x-3) = 0. Ce dernier produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si et seulement si x = 3 ou x = -3.

Donc un réel x vérifie x ² = 9 si et seulement si x = 3 ou x = -3. L'équation est résolue.

Le principe[modifier | modifier le code]

Le principe d'une équation produit-nul est de passer de la résolution d'une équation « compliquée » à celle de plusieurs équations, plus simples. Si A, B, C et D sont des fonctions d'une variable x, l'équation A.B.C.D = 0 est équivalente au système : A =0 ou B =0 ou C =0 ou D =0.

Le théorème cité ci-dessus est valable lorsque l'ensemble est un anneau intègre. Par exemple, il n'est pas valable dans Z/14Z. Dans cet anneau, le produit [2]×[7] est égal à [0] sans qu'aucun des facteurs ne le soit. Seule la propriété suivante est valable, dans un anneau non intègre, sans sa réciproque :

Propriété — Si un nombre est nul, alors tout produit de ce nombre est nul.

En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0. Ainsi, pour tout élément a de l'anneau (A,+,.), le produit a.0 = a.(0 +0). Par la distributivité de la loi . sur la loi +, a.(0 + 0) = a.0 + a.0. Donc, a.0 = a.0 + a.0. Comme (A,+) est un groupe, l'élément a.0 admet un inverse et il est possible de simplifier cette égalité par a.0. D'où a.0 = 0.

Dans un anneau, l'élément neutre de la première loi est ainsi l'élément absorbant de la deuxième.

Également, dans Z/6Z, le produit de la classe de 2 et de la classe de 3 est nul. Le théorème cité en introduction se rédige ainsi, pour être parfaitement rigoureux :

Théorème — Dans un anneau intègre, le produit d'un nombre fini de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Plusieurs ensembles[modifier | modifier le code]

Le théorème peut être étendu à un espace vectoriel : k \cdot u étant le produit d'un scalaire par un vecteur, on a k \cdot u = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0.