Opération ensembliste

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Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s'occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles. Les opérations booléennes (union, intersection, complémentaire, différence et différence symétrique) sont traitées dans l'article « Algèbre des parties d'un ensemble ».

Ensemble des parties[modifier | modifier le code]

L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté habituellement \mathcal{P}(E) ou \mathfrak{P}(E), est l'ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de E :

 \mathfrak{P}(E) = \{ A\mid A \subseteq E \}.

Par exemple si E = {a, b}, \mathfrak{P}(E) = {Ø, {a}, {b}, E}.

L'ensemble des parties d'un ensemble, muni de la réunion, de l'intersection et du complémentaire, forme une algèbre de Boole.

Article détaillé : Algèbre des parties d'un ensemble.

Produit cartésien[modifier | modifier le code]

Le produit cartésien, noté  A \times B (lire « A croix B »), de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :

 A \times B = \{ (x, y)\mid(x \in A) \wedge (y \in B) \}.

Son cardinal est :

\mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A)\times\mathrm{card}(B).

Somme disjointe[modifier | modifier le code]

La somme disjointe, ou réunion disjointe, de deux ensembles A et B, notée A + B, A \dot\cup B ou encore A \sqcup B, est définie par :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}.

Les symboles 0 et 1 dans la définition précédente peuvent être remplacés par d'autres, par exemple Ø et {Ø}. La seule exigence est que les deux symboles utilisés diffèrent l'un de l'autre.

Cette opération permet de définir la somme de cardinaux  :

\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A + B ).

Dans le cas où au moins l'un des deux ensembles est infini, on a aussi, que les ensembles soient disjoints ou non :

\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A \cup B ) =\max( \mathrm{card}( A ), \mathrm{card}( B ) ).

Exponentiation[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Exponentiation ensembliste.

On définit FE comme l'ensemble des applications de E dans F, qui s'identifie au produit cartésien \prod_{e\in E} F.

On peut alors identifier l'algèbre \mathfrak P(E) des parties d'un ensemble E à {0, 1}E ; cela revient en effet à identifier chaque partie de E à son indicatrice.