Opération ensembliste

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s’occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles. Les opérations booléennes (réunion, intersection, complémentaire ...) sont traitées dans l'article Algèbre des parties d'un ensemble.

Ensemble des parties[modifier | modifier le code]

L’ensemble des parties d'un ensemble E, noté habituellement \mathcal{P}(E) ou \mathfrak{P}(E), est, comme son nom l’indique, l’ensemble formé par tous les sous-ensembles de l’ensemble E:

 \mathfrak{P}(E) = \{ A | A \subseteq E \}

Par exemple si A = {a, b}, \mathfrak{P}(A)={Ø,{a}, {b},A}

L’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la réunion, de l’intersection et du complémentaire forme une algèbre de Boole.

Article détaillé : Algèbre des parties d'un ensemble.

.

Si l'ensemble de départ est fini, avec n éléments, alors cette algèbre est isomorphe à   \mathbb{F}_{2^n}, corps fini à 2n éléments. L’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la différence symétrique et de l’intersection ne forme pas un corps commutatif car une partie A d'un ensemble E n'est pas toujours inversible pour l'intersection.

Produit cartésien[modifier | modifier le code]

Le produit cartésien, noté  A \times B (lire « A croix B »), de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples dont la première composante vient de A et la seconde de B :

 A \times B = \{ (x, y) | (x \in A) \wedge (y \in B) \}

On a pour A et B finis: \mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A) \;\mathrm{card}(B)

Somme disjointe[modifier | modifier le code]

La différence symétrique de deux ensembles A et B ne doit pas être confondue avec leur somme disjointe, notée A + B \,,A \dot\cup B \, ou encore A \sqcup B :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}\,

Les symboles  0\, et  1\, dans la définition précédente peuvent être remplacés par d’autres, par exemple  \empty et  \{\empty\} . La seule exigence est que les deux symboles utilisés diffèrent l’un de l’autre.

La somme disjointe, ou réunion disjointe, permet de définir la somme de cardinaux  :

\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A + B )

Dans le cas où au moins un des deux ensembles est infini, on a aussi, que les ensembles soient disjoints ou non :

\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A \cup B ) = max( \mathrm{card}( A ), \mathrm{card}( B ) )

Exponentiation[modifier | modifier le code]

On définit F^E \, comme l’ensemble des applications de E dans F.

On peut alors identifier l’ensemble des parties d’un ensemble E, \mathfrak P(E), à \{0,1\}^E \, ; cela revient en effet à identifier chaque partie de E à son indicatrice.

On peut aussi considérer le produit cartésien \bigotimes_{i\in I}E_i comme étant l’ensemble E^I.