Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Courbe représentative de la fonction arcosh .Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques , une fonction hyperbolique .
La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique [ 1] arcosh [ 2] argch ),
arcosh
:
[
1
,
+
∞
[
→
R
{\displaystyle \operatorname {arcosh} :\left[1,+\infty \right[\to \mathbb {R} }
est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :
y
=
arcosh
x
⟺
x
=
cosh
y
et
y
≥
0
{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\cosh y\;{\text{ et }}\;y\geq 0}
Cette fonction est injective et son image est
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
continue , strictement croissante et concave .
Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞ .
Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :
∀
x
>
1
arcosh
′
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x>1\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
On en déduit la primitive de arcosh qui s'annule en 1 :
∀
x
≥
1
∫
1
x
arcosh
u
d
u
=
x
arcosh
x
−
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x\geq 1\quad \int _{1}^{x}\operatorname {arcosh} u\,\mathrm {d} u=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}}
La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :
∀
x
≥
1
sinh
(
arcosh
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle \forall x\geq 1\quad \sinh \left(\operatorname {arcosh} x\right)={\sqrt {x^{2}-1}}}
Par conséquent :
la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme naturel par :
∀
x
≥
1
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \forall x\geq 1\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :
∀
u
≥
v
≥
1
arcosh
u
±
arcosh
v
=
arcosh
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \forall u\geq v\geq 1\quad \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {\left(u^{2}-1\right)\left(v^{2}-1\right)}}\right)}
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein , « Inverse Hyperbolic Cosine MathWorld
