Loi du zéro-un de Kolmogorov

La loi du zéro-un de Kolmogorov est un théorème de probabilités affirmant que tout événement dont la réalisation dépend d’une suite de variables aléatoires indépendantes mais ne dépend d’aucun sous-ensemble fini de ces variables est soit presque sûrement réalisé, soit presque sûrement non réalisé, c’est-à-dire que probabilité est de 0 ou 1.

De tels événements sont appelés événements queue^{[réf. nécessaire]} et forment un ensemble nommé tribu asymptotique. Le théorème se reformule donc sous la forme suivante :

Théorème — La tribu asymptotique associée à une suite de variable aléatoire indépendantes sous une probabilité $\mathbf {P}$ est $\mathbf {P}$-triviale.

Le paradoxe du singe savant, selon lequel un singe tapant au hasard sur une machine à écrire écrira presque sûrement n’importe quel texte donné est un exemple d’application de la loi du zéro-un de Kolmogorov.

La loi de Kolmogorov s'avère souvent très utile pour calculer des probabilités, mais, de façon surprenante, il arrive aussi parfois qu'après avoir réduit (aisément) l'ensemble des valeurs possible d'une probabilité à {0,1}, à l'aide de la loi de Kolmogorov, il soit ensuite difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Désignation

À la première publication du théorème, Kolmogorov lui donne le nom Null- oder Eins-Gesetz, traduit en anglais par zero-or-one theorem soit en français « loi zéro-ou-un ». L’on trouve aujourd’hui dans la littérature les appellations « loi zéro-un », « loi du zéro-un » ou encore « loi du zéro-un ». Les noms du théorème en anglais et en allemand se sont diversifiés de la même façon.

L’ajout « de Kolmogorov » est fréquemment fait pour distinguer ce théorème de la loi du zéro-un de Borel (présentant les même variations de nommage), les deux lois étant liées et parfois présentées ensemble.

Historique

Publication des Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Si les probabilités constituent un objet d’études des mathématiciens depuis les travaux de Girolamo Cardano, Blaise Pascal et Pierre de Fermat au XVII^e siècle, elles relèvent alors, selon Jean Dieudonné, du « mélange de raisonnements d’allure mathématique et de considérations plus ou moins intuitives »L’argument dtl (valeur <abbr class="abbr " title="page" >p.</abbr>&nbsp;67. Citation datée de l’année [[1977]].) n’existe pas dans le modèle appelé. Si au fil des siècles cette approche élémentaire se révèle fructueuse et est d’ailleurs toujours enseignée, elle atteint ses premières limites au début du XX^e siècle : ainsi, le développement de la physique statistique par Ludwig Boltzmann requiert des résultats mathématiques solides et justifie l’énonciation du sixième problème de Hilbert en 1900. Le développement de la mécanique quantique durant la première moitié du siècle vient encore accroître le rôle des probabilités en physique, et par conséquent le besoin de rigueur mathématique.

En 1933, Kolmogorov publie son traité Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (« Fondements de la théorie des probabilités ») en allemand et apporte une réponse partielle au problème. Il propose une axiomatisation de la théorie des probabilités en se basant sur les travaux réalisés par les Français Émile Borel et Henri Lebesgue trente ans plus tôt : lois de probabilités, variables aléatoires et événements sont redéfinis en termes de mesures, fonctions et tribus. Si le corps de l’ouvrage ne comprend aucune preuve de résultat qui n’ait déjà été énoncé, l’un des grands succès de cette nouvelle théorie est la première preuve de la loi forte des grands nombres annoncée dans les dernières pages, mais non encore publiée, et objet de recherches depuis Borel. Ce théorème établit en particulier que la probabilité que la suite des moyennes arithmétiques des n premiers éléments d’une suite de variables aléatoires réelles intégrables indépendantes de même loi converge vers un réel fixé prend la valeur 1 si ce réel est l’espérance commune des variables aléatoire, et 0 dans tous les autres cas.

Un autre résultat énoncé concerne la convergence des séries de variables aléatoires : Kolmogorov constate qu’une telle série, dès lors que ses termes sont indépendants, converge avec probabilité 0 ou 1 et propose des conditions suffisantes pour calculer cette probabilité. Enfin, il connaît le résultat, publié par Borel en 1909 et aujourd’hui connu en tant que « loi du zéro-un de Borel » affirmant que la limite supérieure d’une suite d’événements indépendants a probabilité 0 ou 1, et proposant une condition nécessaire et suffisante portant sur la convergence de la série des probabilités de ces événements pour se trouver dans l’un ou l’autre des cas — ce lemme est notamment utilisé pour la démonstration originelle de la loi forte des grands nombres.

Tribu asymptotique

Les événements queue sont définis comme l’ensemble des éléments contenus dans la tribu asymptotique (ou tribu queue) associée à une suite de variables aléatoires.

Formellement, soit $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ un espace probabilisé, soient $(E_{n},{\mathcal {E}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ des espaces mesurables, et pour tout $n\in \mathbf {N}$, $X_{n}:\Omega \longrightarrow E_{n}$ une variable aléatoire $({\mathcal {F}},{\mathcal {E}}_{n})$-mesurables. La tribu asymptotique est définie comme :

${\mathcal {T}}=\bigcap _{n\in \mathbf {N} }\sigma ((X_{k})_{k\geq n})$

où $\sigma ((X_{k})_{k\geq n})$ désigne la tribu engendrée par la famille de variables aléatoires $X_{n},X_{n+1},\dots$.

Cette définition ne dépend ni de la loi des variables $X_{n}$, ni même de leur éventuelle indépendance.

De façon plus informelle, il s’agit des événements de $\Omega$ dont la réalisation est déterminée par la valeur des variables $X_{n}$, mais qui est indépendant de tout sous-ensemble fini de ces variables aléatoires.

Exemples

Si les $X_{n}$ sont des variables aléatoires réelles ($\mathbf {R}$ étant munie de la tribu des boréliens) les événements A : « la suite $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ converge », ou B : « la série $\sum _{k=1}^{\infty }X_{k}$ diverge » sont des éléments queue. En effet, d’après le critère de Cauchy, $A=\{\forall \varepsilon >0\exists k\in \mathbf {N} ,\forall p,q\geq k,|X_{p}-X_{q}|\leq \varepsilon \}$, donc quitte à prendre une suite $(\varepsilon _{m})_{m\in \mathbf {N} }$ décroissant vers 0 et choisir $k$ au-dessus du rang $n$ choisi :

$A=\bigcap _{n\in \mathbf {N} }\bigcap _{m\in \mathbf {N} }\bigcup _{k\geq n}\bigcap _{p,q\geq k}\{|X_{p}-X_{q}|\leq \varepsilon _{m}\}$.

D’après la loi du zéro-un de Kolmogorov, ces événements sont donc soit presque sûrs, soit de contraire presque sûr.

Au contraire, l’événement $\sum _{k=1}^{\infty }X_{k}>1$ n'est pas un événement queue dans le cas général (par exemple en supposant ces variables aléatoires positives), puisqu’il n’est pas indépendant de la valeur de $X_{1}$.

Démonstration

Supposons les $X_{n}$ indépendantes ; alors les tribus $U_{n}=\sigma (X_{0},\dots ,X_{n-1})$ et $T_{n}=\sigma ((X_{k})_{k\geq n})$ le sont aussi.

Si nous notons ${\mathcal {T}}$ la tribu asymptotique, alors $\forall n\in \mathbf {N} ,{\mathcal {T}}\subset T_{n}$ ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de ${\mathcal {T}}$ et $U_{n}$.

Posons alors ${\mathcal {U}}$, la tribu engendrée par toutes les tribus $U_{n}$.

La suite de tribus $(U_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ est croissante, donc sa limite $\bigcup _{n\in \mathbf {N} }U_{n}$ est un $\pi$-système qui engendre ${\mathcal {U}}$. Comme $\bigcup _{n\in \mathbf {N} }U_{n}$ et ${\mathcal {T}}$ sont des tribus indépendantes sous $\mathbf {P}$, ${\mathcal {U}}$ et ${\mathcal {T}}$ le sont aussi par lemme de classe monotone.

Ainsi, pour tous événements $A\in {\mathcal {U}}$ et $B\in {\mathcal {T}}$, on a $\mathbf {P} (A\cap B)=\mathbf {P} (A)\mathbf {P} (B)$.

Or comme ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {U}}$, pour $A=B\in {\mathcal {T}}$, on obtient $\mathbf {P} (A)=\mathbf {P} (A)^{2}$

On en conclut que $\mathbf {P} (A)\in \{0,1\}$.

Voir aussi

Liens internes

• Théorème de Borel-Cantelli
• Loi du zéro-un de Borel
• Loi du zéro un de Hewitt-Savage (en)
• Loi du zéro un de Lévy (en)

Bibliographie

• (de) Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete », 1933 (ISBN 978-3-6424-9596-0), Anhang: Null- oder Eins-Gesetz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, p. 60
  Monographie originelle de Kolmogorov, présentant son axiomatisation de la théorie des probabilités, aujourd’hui universellement adoptée.
  Traduction en anglais : (en) Foundations of the theory of probability (trad. Nathan Morrison), New York, Chelsea Publishing Company, 1950 (OCLC 185529381, lire en ligne), Appendix : Zero-or-one Law in the Thoery of Probability, p. 69-70
• Éric Charpentier, Loïc Chaumont, Laurent Mazliak, Marc Yor et al., l’Héritage de Kolmogorov en mathématiques, Paris, Belin, coll. « Échelles », 2004, 304 p. (ISBN 978-2-7011-3669-1), chap. 3 (« quelques aspects de l’œuvre probabiliste »), p. 58-59
• Jean Jacod et Philip Protter, l’Essentiel en théorie des probabilités, Paris, Cassini, 2003 (ISBN 2-84225-050-8), « Indépendance de variables aléatoires », théorème 10.6, p. 79
  Cours de probabilités de niveau licence et master.
• Étienne Klein et Yves Sacquin (dir.), Prédiction et probabilité dans les sciences, Éditions frontières, 1998, 159 p. (ISBN 2-86332-232-X, lire en ligne)
• Émile Borel, « Les Probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 27, n^o 1,‎ décembre 1909, p. 247-271 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, DOI 10.1007/BF03019651, lire en ligne).