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Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel Axiome de limitation de taille Utilisateur:Anne Bauval

Axiome de l'ensemble vide[modifier | modifier le code]

L'axiome de l'ensemble vide ne se déduit plus directement de la compréhension, comme dans ZFC, puisque si l'on suppose en logique du premier ordre que le modèle d'interprétation est toujours non vide, il peut très bien ici ne contenir qu'une classe (la classe vide). On a donc besoin de l'axiome[1] :

Première démonstration de Cantor de non-dénombrabilité: section à la une[modifier | modifier le code]

La première démonstration de Cantor de non-dénombrabilité prouve que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable. Cette démonstration diffère de la démonstration plus familière qui utilise son argument diagonal. En 1874, Cantor publia sa première démonstration de non-dénombrabilité dans un article qui contient aussi une démonstration que l'ensemble des nombres algébriques réels est dénombrable et une démonstration de l'existence des nombres transcendants[2].

Deux controverses se sont développées à propos de cet article :

  • La démonstration de Cantor de l'existence des nombres transcendants est-elle constructive ou non constructive[3]?
  • Pourquoi Cantor souligna-t-il la dénombrabilité des nombres algébriques réels plutôt que la non-dénombrabilité des nombres réels[4]?

En 1891, Cantor publia son argument diagonal[5], lequel produit une démonstration de non-dénombrabilité qui est généralement considérée comme plus simple et plus élégante que sa première démonstration. Les deux démonstrations de non-dénombrabilité contiennent des idées qui peuvent être utilisées ailleurs : Son argument diagonal est une technique générale qui est utile dans la logique mathématique et l'informatique théorique, tandis que sa première démonstration de non-dénombrabilité peut être généralisée aux ensembles ordonnés avec les mêmes propriétés d'ordre que les nombres réels[6].

L'article[modifier | modifier le code]

Démonstration — Dans Les démonstrations, Cantor pose a∞ la limite des extrémités gauche et b∞ la limite des extrémités droite. Ensuite, a∞ = b∞ ou a∞ < b∞. Si ce dernier est vrai, alors un rationnel se situerait entre ces limites puisque l'ensemble des nombres rationnels est dense dans l'ensemble des nombres réels. Mais ce rationnel appartiendrait à l'intérieur de tous les intervalles, ce qui est impossible par la construction ; par conséquent, a∞ est le seul nombre réel appartenant à l'intérieur de chaque intervalle.

L'article de Cantor[7] commence par une discussion des nombres algébriques réels et un énoncé de son premier théorème : Les nombres algébriques réels peuvent faire correspondre un à un aux nombres entiers positifs (autrement dit, il y a une bijection entre l'ensemble des nombres algébriques réels et l'ensemble des nombres entiers positifs). Cantor reformule son théorème en termes plus familiers aux mathématiciens de son temps : Les nombres algébriques réels peuvent être listés par une suite dans laquelle chaque nombre n'apparaît qu'une fois.

Ensuite, Cantor énonce son second théorème : Étant donné une suite quelconque de nombres réels x1, x2, x3, … et un intervalle quelconque [a, b][8], on peut déterminer des nombres réels dans [a, b] qui n'appartiennent pas à la suite donnée.

Cantor observe que la combinaison de ses deux théorèmes produit une nouvelle démonstration du théorème : Chaque intervalle [a, b] contient infiniment beaucoup de nombres transcendants. Ce théorème a d'abord été démontré par Joseph Liouville[9].

Cantor remarque alors que son second théorème donne :

« la raison pour laquelle on ne peut pas faire correspondre un à un aux nombres entiers de la série (ν) les nombres réels formant un système continue de nombres, c'est à dire par exemple, tous les nombres réels qui sont ≥ 0 et ≤ 1. Je suis ainsi arrivé à trouver d'une façon nette la différence essentielle qu'il y a entre un système continu de nombres et un système de nombres de l'espèce de celui qui est formé par l'ensemble de tous les nombres algébriques réels[10]. »

La première moitié de cette remarque est le théorème de Cantor de non-dénombrabilité. Cantor ne démontre pas explicitement ce théorème, probablement parce qu'il suit facilement de son second théorème. Pour le démontrer, on utilise la démonstration par l'absurde. On suppose qu'il existe une bijection entre l'intervalle [a, b] et l'ensemble des entiers positifs, ou de façon équivalente : les nombres réels dans [a, b] peuvent être listés par une suite dans laquelle chaque nombre réel n'apparaît qu'une fois. Appliquant le second théorème de Cantor à cette suite et à l'intervalle [a, b], on obtient des nombres réels dans [a, b] qui n'appartiennent pas à cette suite, ce qui contredit la hypothèse initiale. Par conséquent, l'intervalle [a, b] est non dénombrable.

Observons comment le second théorème de Cantor sépare le contenu constructif de son article à partir de la démonstration par l'absurde qui est nécessaire pour établir la non-dénombrabilité[11].

Les démonstrations[modifier | modifier le code]

Pour démontrer que l'ensemble des nombres algébriques réels est dénombrable, Cantor commence par définir la hauteur d'un polynôme de degré n comme : n − 1 + |a0| + |a1| + … + |an|, où a0, a1, …, an sont les coefficients (entier) du polynôme. Puis, Cantor ordonne les polynômes par leur hauteur et ordonne les racines réels des polynômes de la même hauteur par ordre numérique. Puisqu'il y a seulement un nombre fini de racines pour chaque hauteur, les ordonnancements de Cantor mettent les nombres algébriques réels dans une suite[12].

Ensuite, Cantor démontre son second théorème : Étant donné une suite quelconque de nombres réels x1, x2, x3, ... et un intervalle quelconque [a, b], on peut déterminer des nombres dans [a, b] n'appartenant pas à la suite donnée[13].

Pour trouver un tel nombre, Cantor construit deux suites de nombres réels comme suit : on trouve les deux premiers nombres de la suite donnée x1, x2, x3, … qui n'appartiennent pas à l'intérieur de l'intervalle [a, b][14]. Soit a1 le plus petit de ces deux nombres et b1 le plus grand. De même, on trouve les deux premiers nombres de la suite qui n'appartiennent pas à l'intérieur de l'intervalle [a1, b1]. Soit a2 le plus petit et b2 le plus grand. Suivre cette procédure, on obtient une suite d'intervalles [a1, b1], [a2, b2], … telle que chaque intervalle de cette suite contient tous les intervalles suivants. Par conséquent, la suite a1, a2, a3, … est croissante, la suite b1, b2, b3, … est décroissante, et tout nombre de la première suite est inférieur à tout nombre de la seconde suite.

Ensuite, Cantor divise sa démonstration dans deux cas selon que le nombre d'intervalles générés est fini ou infini. Si fini, soit [aN, bN] le dernier intervalle. Puisqu'au plus un xn peut être dans l'intérieur de [aN, bN], un nombre quelconque dans cet intérieur sauf xn n'appartient pas à la suite donnée.

Si le nombre d'intervalles généré est infini, soit a∞ =  limn → ∞ an[15]. À ce point, Cantor pourrait terminer sa démonstration en notant que a∞ n'appartient pas à la suite donnée puisque pour tous n, a∞ est dans l'intérieur de [an, bn] mais xn n'est pas[16].

Au lieu, Cantor analyse la situation encore plus : il pose b∞ = limn → ∞ bn[17] et divise sa démonstration dans deux cas : a∞ = b∞ et a∞ < b∞. Dans le premier cas, comme mentionné ci-dessus, a∞ n'appartient pas la suite donnée. Dans le second cas, un nombre réel quelconque dans [a∞, b∞] n'appartient pas à de la suite donnée. Cantor observe que la suite des nombres algébriques réels tombe dans le premier cas, indiquant ainsi la façon dont sa démonstration traite cette suite particulière[18].

La démonstration de Cantor de l'existence des nombres transcendants est-elle constructive ou non constructive?[modifier | modifier le code]

Certains mathématiciens prétendent que la démonstration de Cantor de l'existence de nombres transcendants est constructive, c'est-à-dire qu'elle fournit une méthode de construction d'un nombre transcendant. Par exemple, Irving Kaplansky écrit :

« On dit souvent que la démonstration de Cantor n'est pas « constructive » et ainsi ne produit pas un nombre transcendant tangible. Cette remarque n'est pas justifiée. Si l'on met en place une liste définie de tous les nombres algébriques… et puis appliquer la procédure diagonale…, on obtient un nombre transcendant parfaitement défini (il pourrait être calculé à un nombre quelconque de décimales)… (Je dois ces remarques à R. M. Robinson.)[19] »

D'autres mathématiciens prétendent que la démonstration de Cantor est non constructive. Selon Ian Stewart :

« L'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable. Il y a donc une infinité plus vaste que l'infinité des nombres naturels ! Sa démonstration est extrêmement originale. Schématiquement elle consiste à faire l'hypothèse que les réels sont dénombrables, puis à chercher une contradiction… S'appuyant sur ce résultat, Cantor a pu donner une preuve spectaculaire de l'existence des nombres transcendants… puisque Cantor a d'abord démontré que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, puis que celui des réels l'est pas, il faut bien qu'il existe des nombres qui ne sont pas algébriques. CQFD. Ici l'auditoire, stupéfait, sombre dans l'incrédulité ! En fait, le raisonnement de Cantor démontre aussi que les nombres transcendants eux mêmes ne sont pas dénombrables. Il y a donc plus de nombres transcendants que de nombres algébriques, et on a réussi à le prouver sans citer un seul exemple ni de l'un ni de l'autre[20]. »

Les citations ci-dessus montrent que ces deux groupes de mathématiciens discutent des démonstrations différentes mais liées — une démonstration est constructive, tandis que l'autre est non constructive. Les deux démonstrations utilisent une construction qui prend une suite de nombres réels et produit un nombre réel n'appartenant pas à cette suite ; cette construction est soit celle qui se trouve dans l'article de Cantor de 1874, soit elle utilise son argument diagonal. Les démonstrations diffèrent dans leur façon d'utiliser cette construction.

La démonstration constructive l'applique à la suite des nombres algébriques réels, produisant ainsi un nombre transcendant. Cantor donne cette démonstration dans son article (voir « L'article » ci-dessus).

La démonstration non constructive commence par supposant que l'ensemble des nombres réels est dénombrable, ou de façon équivalente : les nombres réels peuvent être listés par une suite. L'application de la construction à cette suite produit un nombre réel pas dans la suite, ce qui contredit l'hypothèse que cette suite contient tous les nombres réels. Par conséquent, l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable. Puisque l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, nombres transcendants doit exister. Cette démonstration ne construit pas un seul nombre transcendant.

Les constructions de Cantor ont été utilisées pour écrire des programmes informatiques qui génèrent des nombres transcendants[21]. Ces programmes montrent que ses constructions produire nombres calculables (si l'on commence par une suite calculable de nombres calculables). Le programme qui utilise l'argument diagonal de Cantor calcule les chiffres d'un nombre transcendant dans temps polynomial[11], alors que le programme qui utilise sa construction de 1874 nécessite au moins temps sous-exponentiel[22].

Le caractère constructif du travail de Cantor est facilement démontré en utilisant ses deux méthodes pour construire des nombres irrationnels. Les deux constructions commencent par la suite des nombres rationnels entre 0 et 1 qui est formée en ordonnant ces nombres par dénominateurs croissants et en ordonnant ceux qui ont le même dénominateur par numérateurs croissants.

Le tableau ci-dessous construit un nombre irrationnel x en utilisant l'argument diagonal. La stratégie est de construire le développement décimal d'un nombre qui diffère du développement décimal de chaque nombre rationnel dans la suite ci-dessus. Choisissons le n-ième chiffre de x afin qu'il diffère du n-ième chiffre du n-ième terme de la suite : si ce dernier chiffre est compris entre 0 et 7, ajoutons 1 pour obtenir le n-ième chiffre de x, sinon posons le n-ième chiffre de x à 0. Ainsi, le développement décimal de x diffère de tous les développements décimals dans la suite. Également, x est compris entre 0 et 1, et son développement décimal ne contient pas le chiffre 9[23]. Par conséquent, x est irrationnel.

Génération d'un irrationnel x
1/2 = 0.5 . . .
1/3 = 0.33 . . .
2/3 = 0.666 . . .
1/4 = 0.2500 . . .
3/4 = 0.75000 . . .
• • •
x = 0.64711 . . .

Le tableau suivant construit un nombre irrationnel en utilisant la construction de Cantor de 1874. La stratégie est de construire une suite de intervalles emboîtés tel que chaque nombre rationnel est exclu de l'intérieur d'un certain intervalle. La construction de Cantor commence par trouver deux premiers nombres dans la suite de nombres rationnels ci-dessus qui appartiennent à l'intérieur de l'intervalle de départ [0, 1]. Ces nombres sont 1/2 et 1/3, et ils forment l'intervalle [1/3, 1/2]. Trouvons ensuite les deux prochains nombres dans la suite qui appartiennent à l'intérieur de [1/3, 1/2]. En continuant cette procédure, on génère une suite d'intervalles emboîtés ; cette suite ne se termine pas puisque on peut toujours trouver deux nombres rationnels appartiennent à l'intérieur d'un intervalle[24].

Dans ce tableau, la première colonne contient l'intervalle, et la dernière colonne énumère les rationnels exclus dans la recherche pour les deux premiers nombres rationnels appartenant à l'intérieur de cet intervalle. Ces nombres exclus sont dans le même ordre que la suite originale sauf une exception, à savoir l'une des extrémités de l'intervalle suivant. Par exemple, l'exception de la première ligne est 2/5 qui est le premier nombre exclu dans la deuxième ligne. Chaque nombre rationnel est exclu de l'intérieur d'un certain intervalle parce que la suite d'intervalles ne se termine pas et l'intérieur de chaque intervalle exclut au moins deux nombres rationnels (les extrémités de l'intervalle). Ainsi, un nombre réel appartenant à l'intérieur de chaque intervalle est irrationnel. Dans sa démonstration, Cantor construit un tel nombre réel en prenant les limites des extrémités des intervalles[25] [26].

Génération d'un irrationnel utilisant la construction de Cantor de 1874
Intervalle Intervalle (décimal) Nombres rationnels en dehors de l'intérieur de l'intervalle
[1/3, 1/2] [0.33…,    0.50…] 1/2, 1/3; 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7
[2/5, 3/7] [0.40…,    0.42…] 2/5, 3/7; 4/7, …, 1/12, 7/12, …, 6/17
[7/17, 5/12] [0.4117…, 0.4166…] 5/12, 7/17; 8/17, …, 11/29, 13/29, …, 16/41
[12/29, 17/41] [0.4137…, 0.4146…] 12/29, 17/41; 18/41, …, 27/70, 31/70, …,40/99
[41/99, 29/70] [0.4141…, 0.4142…] 29/70, 41/99; 43/99, …, 69/169, 71/169, …, 98/239

Le développement des idées de Cantor[modifier | modifier le code]

Le développement conduisant à l'article de Cantor apparaît dans la correspondance entre Cantor et son compatriote mathematicien Richard Dedekind[27]. Le 29 novembre 1873, Cantor demanda Dedekind si l'ensemble des entiers positifs peut être mis en correspondance avec l'ensemble des nombres réels « de telle manière qu'à chaque individu d'un des ensembles corresponde un individu et un seul de l'autre. » Cantor ajouta que ensembles ayant une telle correspondance comprennent l'ensemble des nombres rationnels positifs et ensembles de la forme (an1, n2, …, nν) où n1, n2, …, nν, and ν sont des entiers positifs[28].

Dedekind répliqua qu'il ne pouvait répondre à la question de Cantor et déclara qu'elle « ne méritait pas qu'on y consacre beaucoup de peine parce qu'elle n'avait aucun intérêt pratique particulier. » Dedekind envoya aussi à Cantor une démonstration que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable[29].

Le 2 décembre, Cantor fit remarquer que sa question a un certain intérêt : « Ce serait pourtant beau, si l'on pouvait y répondre ; si, par exemple, la réponse était négative, on disposerait par là même d'une nouvelle démonstration du théorème de Liouville affirmant l'existence de nombres transcendants[30]. »

Le 7 décembre, Cantor envoya à Dedekind une démonstration complexe par l'absurde que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable ; cette démonstration utilise infiniment beaucoup de suites de nombres réels, tandis que la démonstration publiée utilise seulement deux suites[31]. Ensemble, les lettres des 2 et 7 décembre fournissent une démonstration non constructive de l'existence de nombres transcendants.

Le 9 décembre, Cantor annonca le théorème qui lui permit de construire des nombres transcendants ainsi que de démontrer la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels :

« Je montrer directement que, en partant d'une suite
(I)  ω1, ω2, … , ωn, …
je peux déterminer, dans tout intervalle donné [α, β], un nombre η qui n'appartenant pas à (I)[32]. »

Ce théorème est le second théorème dans l'article de Cantor.

Pourquoi l'article de Cantor souligne-t-il la dénombrabilité des nombres algébriques?[modifier | modifier le code]

Pendant les vacances de Noël, Cantor visita Berlin et montra ses récents résultats à son ancien professeur Karl Weierstrass. Le 25 décembre, Cantor écrivit à Dedekind sur sa décision de publier :

« Bien que je n'aie pas eu l'intention de publier pour le moment la question que j'ai récemment débattue pour la première avec vous, j'ai été amené tout-à-coup à le faire. J'ai en effet communiqué mes résultats le 22 à M. Weierstrass… j'ai eu, dès le 23, la grande joie de recevoir sa visite, ce qui m'a permis de lui communiquer les démonstrations ; il a été d'avis qu'il fallait que je publie cette affaire, pour autant qu'elle concerne les nombres algébriques. J'ai donc écrit un petit article sous le titre : Sur une propriété de l'ensemble de tous les nombres algébriques réels et l'ai adressé à M. le professeur Borchardt[33] pour qu'il en considère la publication dans le Journal f. Math [Journal de Crelle][34]. »

Dans une lettre à Philip Jourdain, Cantor fournit plus de détails sur la réaction de Weierstrass :

« Sur le concept du dénombrable, Weierstrass m'entendit parler à Berlin lors des vacances de Noël 1873 et fut d'abord stupéfait; après un ou deux jours, il l'admit, et ce concept l'aida pour un développement inattendu de sa merveilleuse théorie des fonctions[35]. »

Weierstrass recommanda vivement à Cantor de publier probablement parce qu'il avait trouvé la dénombrabilité de l'ensemble des nombres algébriques à la fois surprenant et utile[36]. Le 27 décembre, Cantor écrivit plus à Dedekind sur son article et mentionna son acceptation rapide (seulement quatre jours après son soumission)[37] :

« Si j'a donné, pour la publication, un caractère resteint à mon exposé, cela est en partie motivé par les conditions régnant ici [Berlin], et dont je vous parlerai peut-être un jour de vive voix ; mais d'autre part, je crois qu'il importe d'appliquer d'abord mon raisonnement dans un cas particulier (comme celui des nombres algébriques réels)…[38] »

« Comme je l'ai été informé par M. Borchardt aujourd'hui, il aura la bonté d'inclure cet article le Journal de Math. prochain[39]. »

Cantor donna deux raisons pour restreindre son article : « les conditions régnant ici » et sa croyance « qu'il importe d'appliquer d'abord mon raisonnement dans un cas particulier. » Cantor ne dit jamais à Dedekind ce que « les conditions régnant ici » furent[40]. Ceci conduisait à une controverse : Qui influenca Cantor afin que son article souligne (CHECK GRAMMAR: TENSE OF THIS AND influenca) la dénombrabilité des nombres algébriques réels plutôt que la non-dénombrabilité des nombres réels? Cette controverse était aussi alimentée par les lettres antérieures de Cantor qui indiquent qu'il fut le plus intéressé par l'ensemble des nombres réels.

Cantor biographe Joseph Dauben affirme que « les conditions régnant ici » se réfère à l'influence de Leopold Kronecker, un collègue de Weierstrass à l'Université de Berlin. Dauben déclare que la publication dans le Journal de Crelle aurait pu être difficile parce que Kronecker, membre du comité de rédaction de cette revue, eut une vision restreinte de ce qui est acceptable en mathématiques[41]. Dauben affirme que pour éviter les problèmes de publication[42], Cantor écrivit son article pour souligner la dénombrabilité de l'ensemble des nombres algébriques réels.

Dauben utilise des exemples de l'article de Cantor pour montrer l'influence de Kronecker[43]. Par exemple, Cantor ne démontra pas l'existence des limites utilisées dans sa démonstration de son second théorème[44]. Cantor fit ceci malgré l'utilisation de la version de Dedekind de la démonstration. Dans ses notes personnelles, Dedekind écrivit :

« … [ma] présentation a été transcrite, presque mot pour mot, dans l'article de Cantor (Crelle, tome 77) ; toutefois, l'expression employé par moi « d'après le principe de la continuité » a été évitée là où il se trouvait (p. 261, lignes 10-14)[45] ! »

Le « principe de la continuité » exige une théorie générale des irrationnels telle que la théorie de Cantor ou celle de Dedekind qui construisent les nombres réels à partir des rationnels. Kronecker n'accepta aucunes de ces théories[46].

Dans son histoire de la théorie des ensembles, José Ferreirós analyse la situation à Berlin et arrive à une conclusion différente. Ferreirós souligne l'influence de Weierstrass : Weierstrass s'intéressa à la dénombrabilité de l'ensemble des nombres algébriques réels parce qu'il aurait pu l'utiliser pour construire des fonctions intéressantes[47]. Egalement, Ferreiros soupçonne que, en 1873, Weierstrass n'aurait peut-être pas accepté l'idée que les ensembles infinis peuvent avoir des tailles différentes. L'année suivante, Weierstrass « déclara que deux « grandeurs infiniment grandes » ne sont pas comparables et peuvent toujours être considérées comme égales[48]. » L'opinion de Weierstrass sur les ensembles infinis peut-être l'amena à conseiller Cantor d'omettre sa remarque sur la différence essentielle entre les collections des nombres réels et des nombres algébriques réels[49]. (Cette remarque apparaît au-dessus dans « L'article ».) Cantor mentionna le conseil de Weierstrass dans sa lettre du 27 décembre :

«  (CHECK GRAMMAR HERE!! It's my translation) La remarque sur la différence essentielle des collections que j'aurais très bien pu inclure ( Lingue "could have (very well) included it, see also: p. 279 of grammar book, do French use commas on a parenthetical remark?) a été omise sur le conseil de M. Weierstrass ; mais [il a dit aussi que je] pourrais l'ajouter plus tard comme une note marginale au cours de relecture[50]. »

La plus forte déclaration de Ferreirós sur « les conditions régnant ici » mentionne à la fois Kronecker et Weierstrass : « Si Cantor l' [le résultat non-dénombrabilité] avait souligné, comme il eut eu dans la correspondance avec Dedekind, il ne fait aucun doute que Kronecker et Weierstrass aurait réagi négativement[51]. » Ferreiros mentionne également un autre aspect de la situation locale : Cantor, en pensant à sa future carrière en mathématiques, souhaita maintenir de bonnes relations avec les mathématiciens berlinois[52]. Ce désir aurait pu motiver Cantor pour créer un article qui faisait appel aux intérêts de Weierstrass et n'antagonisait pas Kronecker[53].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ L'existence de l'ensemble vide peut être démontrée à partir des axiomes de Gödel qui diffèrent légèrement de ceux de cet article. L'existence de la classe vide ∅ est une conséquence des axiomes de relation d'appartenance, de complémentaire et d'intersection (voir la suite). L'axiome de remplacement implique : Si B est un ensemble et A ⊆ B, alors A est un ensemble. Puisque ∅ ⊆ B pour toute classe B, ∅ est un ensemble s'il existe un ensemble B. Ceci est une conséquence de l'axiome de l'infini de Gödel qui énonce qu'il existe un ensemble non vide b tel que pour tout x appartenant à b, il existe un y appartenant à b tel que x est strictement inclus dans y. C'est-à-dire : ∃bV[∃u(u ∈ b) ∧ ∀x(x ∈ b → ∃y(y ∈ b ∧ x ⊂ y))]. Gödel 1940, p. 5, 8, 18.
  2. ↑ Cantor 1874. Traduction française : Cantor 1883.
  3. ↑ Gray 1994.
  4. ↑ Dauben 1979, p. 66–70; Ferreirós 2007, p. 183–186.
  5. ↑ Cantor 1891. Traduction française : Rivenc et Rouilhan 1992, p. 197–203.
  6. ↑ L'argument diagonal ne peut être appliqué aux ensembles qui n'ont qu'un ordre. L'application de l'argument diagonal aux nombres réels exige un système de numération (comme le système décimal), et un système de numération utilise les propriétés d'addition et de multiplication des nombres réels.
  7. ↑ Cantor 1874. Traduction française : Cantor 1883.
  8. ↑ La notation [a, b] désigne l'ensemble de nombres réels qui sont ≥ a et ≤ b.
  9. ↑ Liouville a démontré son théorème en construisant ce qui est maintenant appelé les nombres de Liouville et puis en démontrant que ces nombres sont transcendants.
  10. ↑ Cantor 1874, p. 259. Traduction française : Cantor 1883, p. 306.
  11. ↑ a et b Gray 1994, p. 823.
  12. ↑ En utilisant ces ordonnancements et en mettant seulement la première occurrence d'un nombre algébrique réel dans la suite, on produit une suite sans doublons. Cantor obtient la même suite en utilisant des polynômes irréductibles:
  13. ↑ Bien que la démonstration de Cantor détermine un seul nombre, il affirme : « il existe, par conséquent, une infinité de tels nombres. » (Cantor 1874, p. 260. Traduction française : Cantor 1883, p. 308.) Pour voir ceci, considérons par exemple l'intervalle [0, 1]. En le divisant en sous-intervalles [0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 7/8], … et ensuite en appliquant la construction dans la démonstration de Cantor à chaque sous-intervalle, on obtient infiniment beaucoup de nombres n'appartenant pas à la suite donnée.
  14. ↑ L'intérieur de l'intervalle [a, b] comprend tous les nombres dans l'intervalle sauf les extrémités a et b.
  15. ↑ Cantor ne précise pas pourquoi cette limite existe. Elle existe parce que la complétude des nombres réels implique toute suite croissante et majorée a une limite. La suite an est croissante et majorée par b (c'est-à-dire pour tous n, an < b). Le plus simple démonstration qu'une telle suite possède une limite utilise la propriété de la borne supérieure : tout sous-ensemble majoré non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure. La propriété de la borne supérieure est l'une des plusieurs façons équivalentes d'exprimer la complétude (voir l'article : Nombre réel).
  16. ↑ Cantor affirme (sans démonstration) que xn n'est pas dans l'intérieur de [an, bn].
    Démonstration

    Utilisons le raisonnement par récurrence pour démontrer un résultat plus fort : x1, x2, …, x2n ne sont pas dans l'intérieur de [an, bn].

    Initialisation : par la construction de Cantor, a1 et b1 sont les deux premiers nombres de la suite xn qui ne sont pas dans l'intérieur de [a, b]. Si x1 est un de ces nombres, il n'est pas dans l'intérieur de [a1, b1]. Si x1 n'est pas un de ces nombres, il n'est même pas dans l'intérieur de l'intervalle plus grand [a, b]. De même, x2 n'est pas dans l'intérieur de [a1, b1].

    Hérédité : supposons que x1, x2, …, x2k ne sont pas dans l'intérieur de [ak, bk]. Par la construction de Cantor, ak + 1 et bk + 1 sont les deux premiers nombres appartenant à la suite xn qui ne sont pas dans l'intérieur de [ak, bk]. Puisque x1, x2, …, x2k ne sont pas dans l'intérieur de [ak, bk], ak + 1 et bk + 1 sont choisis à partir de la sous-suite x2k + 1, x2k + 2, … En utilisant le raisonnement ci-dessus qui a démontré que x1 et x2 ne sont pas dans l'intérieur de [a1, b1], on voit que x2k + 1 et x2k + 2 ne sont pas dans l'intérieur de [ak + 1, bk + 1]. Par conséquent, x1, x2, …, x2k, x2k + 1, x2k + 2 ne sont pas dans l'intérieur de [ak + 1, bk + 1].

  17. ↑ Cantor ne précise pas pourquoi cette limite existe. Elle existe parce que la complétude des nombres réels implique toute suite decroissante et minorée a une limite. La suite bn est décroissante et minorée par a.
  18. ↑ Cantor 1874, p. 261. Traduction française : Cantor 1883, p. 308–309.
  19. ↑ Kaplansky 1977, p. 25. Pour d'autres exemples, voir : Fraenkel 1930, p. 237 ; Boas et Boas 1996, p. 12–14 ; Akihiro Kanamori 2009, p. 398 (aussi situé à Set Theory from Cantor to Cohen, p. 4).
  20. ↑ Stewart 1989, p. 65–66. Pour d'autres exemples, voir : Perron 1921, p. 162 ; Bell 1939, ch. 29. Quelques mathématiciens interprètent mal l'article de Cantor, mais ne signalent pas que leur exposition conduit à une démonstration non constructive. Par exemple, Dehornoy et Oresme énonçent correctement le premier théorème de Cantor, mais énonçent incorrectement son second théorème : « On ne peut pas numéroter les nombres réels. », et énonçent plus tard : « Cantor note que le rapprochement des théorèmes 1 et 2 permet de redémontrer l'existence de réels non algébriques… » Leurs énoncés impliquent que la démonstration de Cantor est non constructive, mais ils ne le signalent pas. Voir: P. Dehornoy et N. Oresme, Cantor et les infinis, cliquez sur l'onglet « ANALYSE », puis défilez jusqu'à « 3. … et un résultat négatif ».
  21. ↑ Gray 1994, p. 821–824, 830–831.
  22. ↑ Gray 1994, p. 822–823.
  23. ↑ Eviter le chiffre 9 est nécessaire parce que quelques nombres rationnels, tels que 1/4, ont deux développements (0,2500… et 0,2499…). Ce tableau ne contient qu'un seul développement décimal de 1/4, à savoir 0,2500… . L'argument diagonal empêche x d'avoir ce développement ; évitant le chiffre 9 empêche x d'avoir le développement 0,2499… .
  24. ↑ Par exemple, prenons le milieu de l'intervalle et le point à mi-chemin entre le milieu et l'extrémité gauche de l'intervalle. Si l'intervalle est [a, b], ce sont les points (a + b) / 2 et (3a + b) / 4.
  25. ↑ En fait, il n'y a qu'un tel nombre réel lorsque la construction de Cantor est appliquée aux nombres rationnels (ou à un sous-ensemble dense quelconque de nombres réels).
    Démonstration

    Dans Les démonstrations, Cantor pose a∞ la limite des extrémités gauche et b∞ la limite des extrémités droite. Ensuite, a∞ = b∞ ou a∞ < b∞. Si ce dernier est vrai, alors un rationnel se situerait entre ces limites puisque l'ensemble des nombres rationnels est dense dans l'ensemble des nombres réels. Mais ce rationnel appartiendrait à l'intérieur de tous les intervalles, ce qui est impossible par la construction ; par conséquent, a∞ est le seul nombre réel appartenant à l'intérieur de chaque intervalle.

  26. ↑ Le nombre réel construit par ce tableau est √2 - 1.
    Démonstration
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  27. ↑ Noether and Cavaillès 1937, p. 12–20. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 187-196.
  28. ↑ Noether et Cavaillès 1937, p. 12. Traduction française : Cavaillès 1962, p.187-188. Le second résultat équivaut au théorème que l'ensemble des n-uplets d'entiers positifs est dénombrable. Dans son article et dans ses lettres de 1873, Cantor ne considèra que des ensembles de nombres. Il fut donc naturel pour lui d'énoncer un théorème à propos de nombres indexés qui sont communs dans les mathématiques — par exemple, une matrice est un ensemble de nombres indexés.
  29. ↑ Noether et Cavaillès 1937, p. 18. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 194 ou Dugac 1976, p. 117. Une version affaiblie de ce théorème apparaît comme le premier théorème dans l'article de Cantor. Cantor affaibli le théorème en le limitant à l'ensemble des nombres algébriques réels. Voir Ferreiros 2007 (p. 179-180) pour une discussion sur qui devrait avoir le mérite de ce théorème, et comment il est lié au théorème antérieur de Cantor sur l'ensemble des n-uplets d'entiers positifs.
  30. ↑ Noether et Cavaillès 1937, p. 13. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 188.
  31. ↑ Noether et Cavaillès 1937, p. 14-15. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 189-191.
  32. ↑ Noether and Cavaillès 1937, p. 16. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 191.
  33. ↑ Le éditeur du Journal de Crelle qui fut appelé Journal de Borchardt à l'époque.
  34. ↑ Noether and Cavaillès 1937, p. 17. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 192.
  35. ↑ Grattan-Guinness 1971, p. 124. Traduction française : Dugac 1976, p. 117. (La lettre fut écrite en 1905.)
  36. ↑ Cantor réalisa que ses collègues mathématiciens pourraient d'abord être surpris par ce résultat. Dans son article, il déclara : « Les nombres algébriques réels constituent par leur ensemble un système de nombres que nous désignerons par (ω) ; ainsi qu'il résulte de considérations élémentaires, ce système (ω) de nombres est de telle nature qu'il existe une infinité de nombres de (ω) dont la différence avec un nombre quelconque α est moindre qu'une quantité si petite qu'elle soit. Cette remarque rend plus frappante, au premier abord, la propriété suivante : l'on peut faire correspondre un à un les nombres du système (ω), aux nombres ν appartenant à la série des nombres entiers positifs… » (Cantor 1874, p. 258, Traduction française : Cantor 1883, p. 305-306).
  37. ↑ La date de soumission, 23 décembre 1873, apparaît à la fin de l'article — voir Cantor 1874, p. 262 ; traduction française : Cantor 1883, p. 310.
  38. ↑ Noether and Cavaillès 1937, p. 17. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 193.
  39. ↑ Dugac 1976, p. 226. L'article de Cantor fut publié quelques semaines après son soumission (Dauben 1993, p. 5).
  40. ↑ Noether and Cavaillès 1937, p. 20. Cavaillès 1962, p. 193.
  41. ↑ Dauben 1993 (p. 5) affirme : « Au début des années 1870, Kronecker fut déjà vocal dans son opposition au théorème de Bolzano-Weierstrass, limites supérieure et inférieure, et des nombres irrationnels en général. » Pour plus sur les opinions de Kronecker : voir Dauben 1979, p. 66–70 et Dauben 1993, p. 5–7.
  42. ↑ Eduard Heine, un collègue de Cantor, avait récemment éprouvé un retard dans la publication à cause de Kronecker. (Dauben 1979, p. 67; Dauben 1993, p. 5.)
  43. ↑ Dauben 1979, p. 66–70. Gray 1994 (p. 828) donne aussi un exemple : « … [les] théorèmes [de Cantor] ne traitent que des suites qui sont ordonnées par une « loi ». » Gray affirme que « Cantor inséra peut-être cette restriction pour éviter les problèmes avec Kronecker. » Cependant, Ferreiros 2007 (p. 263) corrige Gray : « Comme tous les autres auteurs au début de l'histoire d'ensembles, il [Cantor] eut tendance à penser à eux [ensembles] comme donné par un concept ou une loi, en effet, il souligna cet aspect plus que d'autres contemporains. » Ferreirós fournit des exemples d'articles de Cantor datant de 1872 à 1883.
  44. ↑ Ce sont les limites : a∞ =  limn → ∞ an et b∞ =  limn → ∞ bn (see «  Les démonstrations »).
  45. ↑ Noether and Cavaillès 1937, p. 19. Traduction française : Cavaillès 1962, p. 195. Le principe de la continuité de Dedekind apparaît dans sa construction de 1872 des nombres réels, qui utilise les coupures de Dedekind des nombres rationnels. Le principe de la continuité affirme : Pour chaque coupe dans les nombres réels, il existe un unique nombre réel qui produit cette coupe. (Une coupure sépare les nombres réels en deux ensembles A et B telle sorte que tout élément de A est strictement inférieur à tout élément de B. Un nombre réel produit une coupe s'il est le plus grand membre de A ou le plus petit membre de B.) Le principe de la continuité de Dedekind équivaut à la propriété de la borne supérieure : tout sous-ensemble majoré non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure. (Dedekind 1978, section V.)
  46. ↑ Dauben 1979, p. 69.
  47. ↑ Par exemple, Weierstrass l'utilisa pour construire une fonction qui est continue partout mais dérivable seulement sur les nombres transcendants. Ferreiros 2007, p. 184.
  48. ↑ Ferreirós 2007, p. 184, note 3 de bas de page. Cependant, vers le milieu des années 1880, Weierstrass accepta la découverte de Cantor que les ensembles infinis peuvent avoir des cardinalités différentes. (Ferreirós 2007, p. 185.)
  49. ↑ Ferreirós 2007, p. 184.
  50. ↑ Dugac 1976, p. 226 ; Ferreiros 2007, p. 184. Cantor ajouta sa remarque lors de la relecture.
  51. ↑ Ferreirós 2007, p. 185.
  52. ↑ Ferreirós 2007 (p. 185–186) Il mentionne ce sujet comme une raison possible pourquoi Cantor ne reconnut pas publiquement l'aide de Dedekind dans son article ; Cantor avait reconnu l'aide de Kronecker, Weierstrass, Schwarz et Heine dans des articles antérieurs. Il remercia Dedekind en privé dans sa lettre du 25 décembre : « Pour la rédaction de cet article vos remarques et votre mode d'expression m'ont été, comme vous le verrez, très utiles. » Les notes privées de Dedekind sur sa correspondance révèlent l'étendue de cette aide. Dedekind écrivit : « … j'ai formulé et complètement démontré que même l'ensemble de tous les nombres algébriques peut être mis en correspondance de la manière indiquée avec l'ensemble (n) des nombres naturels du (peu de temps après, ce théorème et sa démonstration ont été reproduits presque littéralement… dans l'article de Cantor paru dans le Journal de Crelle, tome 77 …) » La démonstration de Dedekind du second théorème de Cantor apparaît aussi dans l'article (voir la citation ci-dessus dans la discussion des vues de Dauben). Ferreirós soupçonne qu'une des raisons de Cantor ne reconnut pas publiquement l'aide de Dedekind fut son désir de maintenir de bonnes relations avec les mathématiciens berlinois. Deux de ces mathématiciens – Kronecker et Kummer – étaient en colère contre Dedekind pour la publication de sa théorie des entiers algébriques avant de Kronecker publia sa théorie équivalente. La théorie de Kronecker remontait à 1858, mais il la publia en 1883. Pour plus de détails sur les contributions de Dedekind à l'article de Cantor, voir Ferreirós 2007, p. 177–186. Les citations ci-dessus proviennent de Noether and Cavaillès 1937, p. 17–19; traduction française : Cavaillès 1962, p. 192–195.
  53. ↑ Dans sa lettre du 27 décembre, Cantor mentionna les intérêts de Weierstrass quand il affirme « il importe d'appliquer d'abord mon raisonnement dans un cas particulier (comme celui des nombres algébriques réels) . » Son désir d'éviter antagoniser Kronecker apparaît dans l'analyse de Dauben et dans la déclaration de Ferreiros : « il ne fait aucun doute que Kronecker et Weierstrass aurait réagi négativement », si Cantor avait souligné son résultat non-dénombrabilité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Eric Temple Bell, Les grands mathématiciens, Paris, Payot, (ISBN 0-671-62818-6). Traduction française de Men of Mathematics, Simon & Schuster, 1937.
  • Ralph P. Boas et Harold P. Boas, A Primer of Real Functions, Mathematical Association of America, , 4e éd. (ISBN 978-0-88385-029-9).
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  • Pierre Dugac, Richard Dedekind et les Fondements des Mathématiques, Paris, Vrin, .
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