Densité (mathématiques)

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En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X, on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que souhaité.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient X un espace topologique et A une partie de X. On dit[1] que A est « dense dans X », ou encore « partout dense »[2], si

tout point de X est adhérent à A, ou encore : l'adhérence de A est X.

(Un point x est adhérent à A si tout voisinage de x — ou tout ouvert contenant xrencontre A, et l'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A.)

La densité de A se traduit donc aussi par :

tout ouvert non vide rencontre A, ou encore : le complémentaire de A est d'intérieur vide.

Une condition suffisante pour cela est que tout élément de X soit limite d'une suite d'éléments de A. Cette condition est également nécessaire si X est un espace de Fréchet-Urysohn, par exemple un espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages.

Si B est une autre partie de X, ne contenant pas nécessairement A, on dit que A est dense dans B si son adhérence contient B[réf. souhaitée].

Espace topologique séparable[modifier | modifier le code]

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable.

Point dense[modifier | modifier le code]

Un point x de X est dit dense si le singleton {x} est dense dans X.

Exemples[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Paul du Bois-Reymond, « Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung […] », Math. Ann., vol. 16,‎ (lire en ligne) dit : « pantachique » : Alain Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Vrin, (lire en ligne), p. 37.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. I.9, aperçu sur Google Livres.
  3. Attention, « dense dans lui-même » n'est pas synonyme de « dense-dans-lui-même (en) », comme le signale avec humour (en) J. E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany (en), (lire en ligne), p. 39.

Articles connexes[modifier | modifier le code]