Équations équivalentes

En mathématiques, des équations équivalentes sont des équations qui ont les mêmes solutions.

Par exemple, les deux équations $x^{2}-1=0$ et $x-1=0$ sont équivalentes comme équations dans l’ensemble des nombres réels positifs, où elles ont une solution $x=1$, mais elles ne sont pas équivalentes dans l’ensemble des nombres réels, car la première équation a alors une deuxième solution $x=-1$.

Les opérations algébriques élémentaires permettent de construire des équations équivalentes à une équation donnée, en général avec l’objectif de la résoudre :

• Si l’on ajoute ou soustrait une même expression des deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Par exemple, l’équation $-2x+5=-2-9x$ est équivalente à l’équation $7x=-7$, comme on le voit en ajoutant à chaque membre $9x-5$.

• Si l’on multiplie ou divise par une expression non nulle les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Par exemple, l’équation $7x=-7$ est équivalente à l’équation $x=-1$, comme on le voit en divisant chaque membre par 7.

Plus généralement, on dit que des systèmes de plusieurs équations à plusieurs variables sont équivalents lorsque ces systèmes ont le même ensemble de solutions. Par exemple, les systèmes de deux équations à deux inconnues, $x+4y=-10,\quad 3x-y=9$ et $4x+3y=-1,\quad -2x+5y=-19$ sont équivalents car ils ont chacun la solution $x=2,\quad y=-3$.