Statistique de Maxwell-Boltzmann

La statistique de Maxwell-Boltzmann est une loi de probabilité ou distribution utilisée en physique statistique pour déterminer la répartition des particules entre différents niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz.

Énoncé

Formulation discrète

On se donne un système de $N$ particules pouvant prendre les différents états d'énergie discrets $E i$ . À l'équilibre thermodynamique, le nombre $N i$ de particules dans un état d'énergie donné $E i$ est :

N_{i}={\frac {N}{Z(T)}}~g_{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}={\frac {N}{\sum _{j}g_{j}\mathrm {e} ^{-E_{j}/k_{B}T}}}~g_{i}\mathrm {e} ^{\frac {-E_{i}}{k_{B}T}}\,

où

$g i$ est la dégénérescence de l'état d'énergie $E i$ , c'est-à-dire le nombre d'états possédant l'énergie $E i$ ;
$k B$ est la constante de Boltzmann ;
$T$ est la température du système (celui-ci doit donc être à l'équilibre) ;
$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$
$Z (T)$ est la fonction de partition du système.

Formulation continue

On considère un système de $N$ particules pouvant prendre continûment tout état d'énergie entre zéro et l'infini. Le nombre $d N E$ de particules possédant une énergie entre $E$ et $E + d E$ est :

\mathrm {d} N_{E}={\frac {N}{Z(T)}}~g(E)\mathrm {e} ^{-\beta E}\,\mathrm {d} E={\frac {N}{\int g(\varepsilon )\mathrm {e} ^{-\varepsilon /k_{B}T}\mathrm {d} \varepsilon }}~g(E)\mathrm {e} ^{\frac {-E}{k_{B}T}}\,\mathrm {d} E

où :

$g (E)$ est la dégénérescence du système (densité de probabilité des états ayant une énergie comprise entre $E$ et $E + d E$ ) ;
$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ ;
$Z (T)$ est la fonction de partition du système.

Température de Boltzmann

Cette température est associée à deux états de particules identiques, en général à deux états entre lesquels une transition optique peut être observée.

Le rapport des populations $N 2 / N 1$ de ces deux états, et la différence des énergies de ces états $E 2 - E 1$ définissent la température de Boltzmann $T B$ par l'équation :

N_{2}/N_{1}=\exp \left(-{\frac {E_{2}-E_{1}}{k_{B}T}}\right)

Lorsque $N 2$ est supérieur à $N 1$ , c'est-à-dire lorsqu'il y a inversion de population, le résultat est une température négative qui est acceptée par convention. En spectroscopie, un rayon de fréquence $ν$ est amplifié par le milieu si $T B$ est négatif ou si $T B$ est supérieur à la température du rayon déduite, par la loi de Planck, de sa fréquence et de sa radiance.

Limitations

La statistique de Maxwell-Boltzmann a été bâtie en supposant l'absence d'interaction entre les particules concernées : elle n'est donc valable en toute rigueur que pour un gaz parfait classique. Elle est toutefois utilisable aussi comme approximation du comportement d'un gaz réel quand il est possible de négliger les interactions entre ses particules, mais ne peut s'appliquer, par exemple, à aucun liquide.

De plus, cette statistique est construite dans le cadre de la mécanique classique ; elle ne s'applique donc que lorsque les effets quantiques sont négligeables, par exemple à des températures suffisamment hautes. À basse température, elle doit être remplacée par la statistique de Bose-Einstein pour les bosons et la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions.

Pour comparer ces trois statistiques, il est utile de reformuler la statistique de Maxwell-Boltzmann en posant :

\mathrm {e} ^{-\mu /k_{B}T}={\sum _{j}g_{j}\mathrm {e} ^{-E_{j}/k_{B}T}}\,

d'où :

n_{i}={\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\mathrm {e} ^{-E_{i}/k_{B}T}}{\mathrm {e} ^{-\mu /k_{B}T}}}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}\right)}}.

Applications

Cas des gaz parfaits

Article détaillé : Théorie cinétique des gaz.

Biophysique

En électrophysiologie cellulaire, on décrit souvent les mécanismes d'ouverture et de fermeture des canaux ioniques par une fonction de Boltzmann simplifiée quand ceux-ci sont dépendants du voltage transmembranaire souvent appelé « Potentiel de repos ».

Lorsqu'on étudie la dépendance du phénomène d'ouverture (activation) d'un canal ionique en fonction du voltage transmembranaire imposé par l'expérimentateur, la formule utilisée (appelée « Fonction de Boltzmann ») est :

{\frac {G(V)}{G_{\max }}}={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{\frac {V-V_{1/2}}{k_{B}}}}}

,

où

$V$ est le voltage transmembranaire ;
$G (V)$ est la conductance ionique associée aux canaux, dépendante du voltage transmembranaire ;
$G max$ est la conductance maximale ;
$V 1/2$ est le voltage transmembranaire pour lequel la moitié des canaux sont ouverts, ici c'est le voltage de demi-activation ;
$k$ décrit la dépendance de l'ouverture des canaux par rapport au changement de voltage, nommé dans la littérature « constante de pente ».

La même formule peut représenter la dépendance du phénomène de fermeture (inactivation) d'un canal ionique en fonction du voltage transmembranaire, $V 1/2$ est alors le voltage de demi-inactivation.

Dans les deux cas ci-dessus, la fonction de Boltzmann décrit les valeurs de la « variable d'activation » ou de la « variable d'inactivation », en fonction du voltage transmembranaire. Elle ne s'applique qu'aux mesures faites à l'état stable, on parle donc de « variable d'activation à l'état stable » ou de « variable d'inactivation à l'état stable ». Cette fonction prend des valeurs réelles dans l'intervalle ]0;1[.

La fonction de Boltzmann est ici utilisée pour décrire les résultats expérimentaux issus de la mesure des courants ioniques de membrane en conditions de voltage imposé (en anglais voltage-clamp), par la technique à double microélectrode ou par celle dite du patch-clamp. On peut ainsi déterminer les propriétés des différentes catégories de courants ioniques membranaires. Les paramètres $V 1/2$ et $k$ servent à caractériser les propriétés d'un canal ionique et à la modélisation informatique des propriétés électriques d'une cellule.

Voir aussi

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