Discussion:Suite de polynômes orthogonaux

vecteurs propres d'un endomorphisme symétrique ?

J'ai relu, mais il vaut mieux que quelqu'un regarde aussi, si ça peut être utile. Il me semble qu'il y a autre chose d'universel sur ces polynômes orthogonaux. Avec les notations de la page, on peut considérer l'endomorphisme u qui à un polynôme P associe

• $u(P)={\frac {1}{W(x)}}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[R(x){\frac {{\textrm {d}}P}{{\textrm {d}}x}}]=Q(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(P(x))+L(x){\frac {d}{dx}}(P(x))$

D'après l'équation différentielle, on a

• $u(P)=-\lambda P~$

cad les polynômes orthogonaux sont vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes. Mieux, ils sont solutions ssi ils sont vecteurs propres.

Or cet endomorphisme est, semble-t-il, sur les exemples proposés, symétrique. Une intégration par parties donne en effet:

• $\int _{I}u(P_{m})(x)P_{n}(x)W(x)\,dx=-\int _{I}P'_{m}(x)P'_{n}(x)R(x)\,dx$

sous réserve que la fonction R s'annule aux extrémités de l'intervalle d'intégration, ce qui est le cas sur chacun des exemples, mais que je ne vois pas dans le cas général.

On aurait là une preuve du caractère orthogonal de la famille de polynômes, en plus d'une propriété tout de même remarquable?

Toujours sur les exemples, W et R sont positives sur le domaine d'intégration, et du coup, la constante lambda est positive, donc les valeurs propres sont négatives. Mais c'est plus secondaire.

Asram (d) 17 avril 2010 à 21:51 (CEST)

Eh oui ! tout ça est bien plus général que Polynôme de Legendre Dans le sens que tu dis c'était déjà clair pour moi (avec un peu plus de précautions quand une borne est infinie), mais avant de me lancer je réfléchis à une réciproque : les 3 cas de l'article sont exactement ceux où u est diagonalisable avec vecteurs propres un polynôme par degré (et une valeur propre, réelle, et explicite), mais pour quels W (ou plus généralement, quels produits scalaires) est-il symétrique (ou ce qui revient au même : les droites propres sont orthogonales) ? Anne Bauval (d) 17 avril 2010 à 22:16 (CEST)

Les trois cas? Tous les huit cas proposés dans les tableaux ont l'air de marcher, non? mais je vais réfléchir à ta question. Il me semble qu'il faut voir si on peut imposer (sans restriction, si j'ose dire) à R de s'annuler (ou d'être de limite nulle) aux extrémités: cela me semble pour l'instant décisif. Asram (d) 17 avril 2010 à 22:29 (CEST)

(conflit d'edit) Les 3 cas sont (Jacobi, Laguerre, Hermite) mentionnés au début du § Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux. Les autres du tableau n'en sont que des cas particuliers. Ces 3 cas sont (j'ai vérifié) exactement les conditions qu'il faut sur Q et L pour que le W mentionné réponde à la question (y compris quand la borne est infinie, mais dans ce cas la traduction en termes de Q et L correspond à une contrainte plus forte que limite nulle). Mais ce sur quoi je médite est : quid d'un éventuel autre W (voire même : autre produit scalaire) ? Anne Bauval (d) 17 avril 2010 à 22:58 (CEST)

En fait, je ne suis pas sûr d'avoir compris ta question. Du coup, je ne sais pas si ce qui suit aide. J'ai retrouvé un vieux papier sur ce thème.

• Si on considère une famille de polynômes de degré n (normalisés, disons),
• et un endomorphisme symétrique laissant stable chaque ev des poly de degré plus petit que n,
• pour un produit scalaire vérifiant $<P,XQ>=<XP,Q>$, alors
• si la famille est orthogonale, alors est constituée de vecteurs propres de l'endomorphisme, et la réciproque est vraie si l'on sait que les sous-espaces propres sont des droites. Asram (d) 17 avril 2010 à 22:48 (CEST)

Liens

Je mettrai là des références, si j'en trouve. Asram (d) 18 avril 2010 à 00:24 (CEST)

Polynômes orthogonaux pour l'oral d'agrégation (notamment les polynômes comme polynômes caractéristiques d'une matrice symétrique réelle et conséquences)

Exemple : les multiplicateurs de Lagrange

Le théorème d'existence de polynômes d'interpolation simple se démontre par la méthode des idempotents orthogonaux $P=\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}\Pi _{j,j\neq i}{\frac {X-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$ Les idempotents orthogonaux dans un anneau de polynôme sont des polynômes orthogonaux (commentaire)

Démonstration

On détermine les $e_{i}\in k[X]$, k étant un corps $e_{i}\cong 0mod(X-x_{j}\forall j\neq i$ $e_{i}\cong 1mod(X-x_{i}$ Le polynôme $e_{i}$ étant divisible par $(X-x_{j})$, il est aussi divisible par $\Pi _{j\neq i}(X-x_{j})$ (commentaire) On obtient alors $e_{i}=\lambda _{i}(X-x_{1})...{\overline {(X-x_{i})}}...(X-x_{n})$

avec $\lambda _{i}\in k[X]$

${\overline {(X-x_{i})}}$ veut dire que $(X-x{i})$ n'apparaît pas dans la liste (car $e_{i}$ a pour reste 1 de la division par $(X-x_{i})$ (commentaire))

Nous obtenons donc'$e_{i}=\lambda _{i}\Pi _{j,\neq i}(X-x_{j})\cong 1mod(X-x_{i})$ Sachant que $X\cong x_{i}mod(X-{i})$, on peut calculer la valuation du polynôme en $x_{i}$ (commentaire)

$e_{i}(x_{i})=\lambda _{i}\Pi _{j,j\neq i}(x_{i}-x_{j})=1$

De là on calcule $\lambda _{i}$

$\lambda _{i}={\frac {1}{\Pi _{j,j\neq i}(x_{i}-x_{j})}}$

Et on obtient

$e_{i}=\Pi _{j,j\neq i}{\frac {(X-x_{j})}{(x_{i}-x{j})}}$

Ce sont bien des polynômes orthogonaux. Car $e_{i}$ est un multiple de $(X-x_{j})$ et $e_{j}$ est un multiple de $(X-x_{i})$. Leur produit est donc un multiple de $(X-x_{j})(X-x_{i})$ dans ${\frac {k[X]}{(X-x_{j})(X-x_{i})}}$

Titi3 (discuter) 11 septembre 2014 à 15:50 (CEST)

Outre le fait qu'elle est très mal écrite (tant sur la forme que sur le fond), je ne comprends rien à ce que l'auteur veut montrer avec ça. Quelqu'un ? Kelam (mmh ? o_ô) 8 octobre 2014 à 12:41 (CEST)

P.S. les multiplicateurs de Lagrange, c'est en optimisation sous contraintes ; ça, ce sont des polynômes interpolateurs de Lagrange.

• Ce texte avait été supprimé pour les raisons suivantes(1) sourcer 2) respecter les conventions typographiques 3) en quoi est-ce un bon exemple ? 4) Que veut dire cette démonstration (idempotents ?))
  • Je l'ai replacé. C'est sourcé. Même si c'est écrit en petit. Je l'ai surligné. Un polynôme idempotent orthogonal esr un polynôme orthogonal. Evident. Mais il aurait fallu commencer par définir les idempotents dans Z/pZ x Z/qZ (p et q premiers entre eux) et puis passer des anneaux aux aneeaux de polynômes. Un peu rapide, certes. Les commentaires sont par contre des travaux inédits et doivent, selon le règlement, être supprimés. En page de brouillon, oui. Exemple d'idempotent dans Z/3Z x Z/5Z : (1 modulo 3, 0 modulo 5) et (0 modulo 3, 1 modulo 5). Par le théorème des restes chinois, Z/3Z x Z/5Z est isomorphe à Z/15Z. Donc (1 modulo 3, 0 modulo 5) est isomorphe à 10 modulo 15 et (0 modulo 3, 1 modulo 5) est isomorphe à 6 modulo 15. On vérifie que 10 exposant n modulo 15 est égal à 10 modulo 15. Idem pour l'idempotence de 6. On vérifie que 10 fois 6 = 60 = 0 modulo 15. La construction des idempotents non seulement construit le problème mais également par dualité construit un espace modulaire ou vectoriel de solutions (mathématiques constructivistes). Ayant construit les deux idempotents non triviaux 6 et 10, je peux résoudre le système de congruence (x congru à a modulo 3 et x congru à b modulo 5; a étant compris entre 0 et 2, b étant compris entre 0 et 4, bornes comprises). La solution étant x = (10 a + 6 b) modulo 15. On résoud de même les congruences sur les anneaux de polynômes (division par X - x indice i) et on retrouve les multiplicateurs de Lagrange. On définit le produit scalaire de (Z/pZ x Z/qZ) x (Z/pZ x Z/qZ) -> (Z/pZ x Z/qZ) qui à tout couple de "vecteurs" ( (x,y),(x',y') ) associe un produit (xx',yy'). On vérifie que le produit scalaire de (1,0) par (0,1) donne bien (0,0). On vérifie aussi que 0 modulo 3 et 0 modulo 5 est isomorphe à 0 modulo 15. On fait de même avec les polynômes, c'est ce qu'a essayé de faire le précédent contributeur. Un mot sur les treillis modulaires ne serait pas de trop. Bonne journée et bon travail. Charlie (discuter) 8 octobre 2014 à 13:04 (CEST)

Je viens sur cette page de discussion alertée par cette phrase « On m'a demandé de vérifier cela. Salutations. » concernant l'ajout de titi2 à cet article. Ce soutien opportun à titi2 ne me convainc pas. L'article donne la définition des polynômes orthogonaux comme une suite de polynômes de degré croissant et qui sont orthogonaux via un produit scalaire ou hermitien défini à l'aide d'une intégrale.

Dans le cadre de cette définition - que l'on retrouve dans l'article de l'encyclopédia universalis Orthogonaux (polynomes) signés par J-L Ovaert - les polynomes interpolateurs de Lagrange présentés

1. ne constituent pas une suite de polynôme de degré croissant
2. ne sont pas orthogonaux pour le produit scalaire défini dans cet article.

Ils ne peuvent donc pas servir d'exemple pour illustrer la notion. Dfeldman et Kelam avaient donc raison de supprimer cette section. Quant à la source, elle explique la construction des polynômes de Lagrange pour qu'ils vérifient les deux conditions P_i(x_j) = 0 pour tout j différent de i et P_i(x_i)=1, construction qui me semble hors sujet ici.

je soutiendrai donc de tout cœur une suppression. HB (discuter) 8 octobre 2014 à 14:18 (CEST)

 HB : Merci des explications données, je vois un peu mieux ce qui est tenté d'être prouvé ici

« Soutien opportun » ? Je soupçonne une résurgence de Titi2, banni il y a de cela un mois. Une RCU a été déposée, je propose que nous attendions le résultat avant d'avancer. Kelam (mmh ? o_ô) 8 octobre 2014 à 14:23 (CEST)

Ce contributeur banni et rebanni nous a habitués à se gargariser de mots (comme « mathématiques constructivistes » et « treillis modulaires ») dont il ne maîtrisait pas le sens et à faire, dans les articles de maths sur wp.fr, de (nombreux hélas mais à présent tous endigués j'espère) ajouts prétendument sourcés et pourtant faux ou n'ayant même aucun sens. Merci de ne pas prendre son relai. Nous savons ce qu'est un idempotent et comment les calculer dans ces exemples triviaux et où il n'y a même pas de produit scalaire (vous confondez comme lui avec la multiplication dans un anneau) : c'est détaillé dans théorème chinois mais ça n'a rien à voir avec les polynômes orthogonaux. Anne 8/10/14 14h42

• La suite de polynômes "en degré croissant" est un cas particulier de polynômes orthogonaux. Il faudrait d'autres sources. Par contre, je vous invite à refaire vos calculs et à vérifier qu'ils sont bien orthogonaux dans l'anneau-quotient. Vous devez calculer le reste de la division par (X - x indice i) et que le produit scalaire de (1,0) par (0,1) dans k[X]/X - x indice 1 x k[X]/ X - x indice 2 donne (0,0) dans k[X]/ (X-x indice 1) (X-x indice 2) (équation d'une droite - cas le plus simple). Je ne comprends rien à vos conflits internes. Faites des maths, pas des guerres personnelles (version matheuse de "faites l'amour pas la guerre). Faites de bonnes révisions. A plus. Charlie (discuter) 8 octobre 2014 à 14:51 (CEST)

On résume : un article fondamental, illustrant une définition classique, sourcée par Universalis et Ovaert (pas exactement n'importe qui), veut être complété dès le début par un exemple non standard, ne respectant pas la définition, incompréhensible, nous demandant de faire les calculs nous-mêmes. et nous insultant (version soft) au passage (cf ma page de discussion, où l'on m'explique que cette erreur "monstrueuse" vient de ce qu'il arrive aux professionnels de se tromper, et qu'ils doivent encore apprendre). Je n'attends pas la RCU pour signaler que ce "nouveau" contributeur intervenant de manière pointue et incorrecte sur un article de la sphère de ceux de Titi2 me semble plus que suspect...--Dfeldmann (discuter) 8 octobre 2014 à 15:04 (CEST)

 Dfeldmann : Ok, pas de souci pour moi. Pour être franc, j'attends surtout de la RCU qu'il ressorte des possibles comptes dormants. Je viens de voir la réponse qu'il vous a donné sur sa PdD, il n'y a plus de doute possible tant l'excuse donnée pour expliquer l'éventuelle CU positive est grosse (la même université... ça faisait longtemps qu'on ne l'avait pas sorti, celle-là). Kelam (mmh ? o_ô) 8 octobre 2014 à 15:19 (CEST)

Màj : RCU positive, sans surprise.

Partie supprimeée par Dfeldmann

Cette notion est utilisée par exemple en cryptologie ou en analyse numérique. Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme par exemple en mécanique des fluides ou en traitement du signal. De nombreux types de polynômes orthogonaux particuliers comme ceux de Legendre, de Tchebychev permettent d'approximer une fonction et, par leurs propriétés, de résoudre plus simplement des équations différentielles complexes. Intuitivement et par analogie avec le produit scalaire, orthogonal signifie en algèbre linéaire que l'on s'assure qu'aucun terme de la série n'est redondant et donc inutile, chaque terme de la série est un vecteur de la base orthonormée.

Historique
Le domaine des polynômes orthogonaux s'est développé à la fin du XIXe siècle à partir d'une étude sur les fractions continues par Pafnouti Tchebychev et a été poursuivi par Andreï Markov et Thomas Joannes Stieltjes. Gábor Szegő, Sergei Bernstein, Naum Akhiezer, Arthur Erdélyi, Yakov Geronimus, Dave Gwyn, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam et Richard Askey ont également travaillé sur le sujet.

Tu as effacé ma contribution, je trouve ton argument d'une part part complétement illégitime pour une encyclopédie grand publique d'autre part c'est non neutre de ne vouloir garder qu'une stricte définition mathématique donc limitée (en supprimant l'histoire et l'utilisation qu'en font les physiciens par exemple Tu ne doute pas que je peux fournir plein de sources, 1s sur google et : [1]). C'est pour cette raison que j'entends souvent dire que wikipédia ne sert strictement a rien en maths. Merci de restaurer ou d'expliquer pourquoi il ne doit y avoir qu'une def mathématique. Enfin si par RI tu veux dire résumé introductif, mais c'est un résumé introductif ? Pourrais tu aussi être moins condescendant dans ta réponse que dans ton post, merci 88.164.47.85 (discuter) 5 octobre 2018 à 20:27 (CEST)

Je ne souhaite pas vraiment prolonger la discussion sur le fond ici, mais il ne me semble pas que ce soit faire preuve de condescendance que de signaler que le Résumé Introductif doit répondre à des contraintes précises, rappelées ici, ce qui explique que cette description simplifiée (au demeurant trop imprécise pour être vraiment utile) doit à mon avis figurer dans le premier paragraphe de l'article si elle doit absolument figurer quelque part. Mais je laisse les autres participants à cette page en juger.--Dfeldmann (discuter) 6 octobre 2018 à 10:54 (CEST)

Un avis en passantde quelqu'un qui trouve le sujet trop difficile pour y intervenir. Il me semble que dans une encyclopédie, donner une ou des définitions, cela ne suffit pas. Il est utile de dire aussi à quoi cela sert et même éventuellement présenter un historique de la notion. Si je regarde le résumé introductif de l'article Orthogonaux (polynômes) de l'encyclopaedia Universalis (qui n'est pas spécialement réputée pour ses efforts de vulgarisation en math) j'y lis « C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, série de Fourier, problème de Sturm-Liouville et plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens constitués de fonctions et à déterminer les valeurs propres de certains endomorphisme de ces espaces ... », ceci avant toute définition de ce que sont des polynômes orthogonaux. Je trouve donc qu'il manque cet éclairage dans l'article actuel. Cependant, normalement, dans un résumé introductif figurent les aspects qui doivent être développés dans le corps de l'article. Alors que faut-il faire? Attendre qu'un paragraphe 'Motivation soit développé dans le corps de l'article avant d'autoriser la présence de quelques mots dans le RI? Ou bien compter sur l'effet «une pommme est un fruit» pour espérer que les quelques mots placés dans le RI encourage quelqu'un à développper ces branches là dans l'article? HB (discuter) 8 octobre 2018 à 10:35 (CEST)

Une IP peut-elle voir les connaissances pour ce faire ? Une partie traduite d'(en), faite par une IP, n'est-elle pas tachée de corruption ? Aussi je n'ai pas lu : Établir la notoriété, Établir le contexte... Je site "si vous n'avez pas des bases très sérieuses ...", ou y a t il condescendance, sa réponse sur ma page est assez claire : Une IP ne peut écrire une RI sur un sujet si compliqué. 88.164.47.85 (discuter) 8 octobre 2018 à 17:16 (CEST)

En fait, ce qui m'inquiète, c'est que vous lisez mal. J'expliquais que le manque de vulgarisation dans certains des articles spécialisés de Wikipédia était essentiellement inévitable (c'est une encyclopédie, pas un cours universitaire) et donnait comme exemple Géométrie différentielle des surfaces, que, sans aucune condescendance, je vous défie, en effet, de lire (passé les premiers paragraphes) si vous n'avez pas de très solides connaissances, au moins du niveau maîtrise (en France) ; cet article a pourtant reçu le label Bon Article. Et il en est de même de beaucoup d'articles de physique, de technologie, de jeu d'échecs, etc. Pour le reste, je le répète, il n'est en effet pas mauvais de parler des motivations , des applications, etc; au moins en quelques mots, mais en revanche, il me semble dangereux de vulgariser tant que le mot "orthogonal" est paraphrasé par "non inutile", ce qui renvoie au mieux à l'indépendance linéaire, en non à l'interprétation géométrique, aux projections, aux espaces de Hilbert, etc.--Dfeldmann (discuter) 8 octobre 2018 à 20:36 (CEST)

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L'espace des fonctions de norme finie n'est pas espace de Hilbert. Boutarfa Nafia (discuter) 7 avril 2022 à 13:10 (CEST)

Tiens, pour une fois, vous n'avez pas complètement tort. À dire vrai, le paragraphe est ambigu, il n'est nulle part précisé ce qu'on entend par « fonction » - au minimum il faut qu'elles soient mesurables, pour que l'intégrale ait un sens. Le plus vraisemblable est que l'auteur de la section avait en tête l'espace $L^{2}$, qui est bien un espace de Hilbert, mais un espace de classes de fonctions. C'est un raccourci quelque peu malheureux, mais il n'est pas inhabituel de parler de « fonction L² », ou de « fonction définie presque partout ». 7zz (discuter) 7 avril 2022 à 16:20 (CEST)