Polynôme de Tchebychev

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Les polynômes de Tchebychev, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev, constituent deux suites de polynômes (notés Tn pour la première espèce et Un pour la seconde, l'entier naturel n correspondant au degré). Ces deux suites peuvent être définies par la relation de récurrence :

et les deux premiers termes :

et

Chacune est une suite de polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de fonctions, associé à la fonction poids sur [–1, 1]. Ces polynômes constituent un cas particulier des polynômes ultrasphériques[1].

Une définition alternative de ces polynômes peut être donnée par les relations trigonométriques :

ce qui revient, par exemple, à considérer comme le développement de sous forme de polynôme en .

Contrairement à d'autres familles de polynômes orthogonaux, tels ceux de Legendre, d'Hermite ou de Laguerre, les polynômes de Tchebychev n'ont pratiquement pas d'application directe en physique. En revanche, ils sont particulièrement utiles en analyse numérique pour l'interpolation polynomiale de fonctions. En premier lieu, en ce qui concerne le choix des points d'interpolation, comme les zéros de ou abscisses de Tchebychev, en vue de limiter le phénomène de Runge. Également, ils constituent une base alternative de polynômes par rapport à la base canonique de des polynômes de Lagrange, ce qui permet d'améliorer sensiblement la convergence[1]. Ils sont notamment utilisés pour le calcul des éphémérides astrononomiques[2]

Définition et propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs possibilités pour définir cette famille de polynômes. La plus simple est par la relation de récurrence, qui permet de générer rapidement l'expression des différents polynômes. Toutefois, une telle définition ne permet guère d'établir les propriétés générales de ces polynômes, en premier lieu leur orthogonalité, aussi une autre définition, à partir des propriétés des fonctions trigonométriques, doit être envisagée.

Définition par la relation de récurrence[modifier | modifier le code]

Courbes représentatives des premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1 < x < 1 : La fonction constante T0 et T1, T2, T3, T4 et T5.

La définition classique des polynômes de Tchebychev de première espèce est le plus souvent donnée par la relation de récurrence suivante :

avec et

Par récurrence, est un polynôme de degré n.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

Définition trigonométrique[modifier | modifier le code]

On démontre que pour tout entier naturel n,

ce qui peut servir de définition alternative des polynômes , vus comme fonctions polynomiales définies sur l'intervalle réel [–1, 1].

L'une des démonstrations[N 1] consiste à remarquer que cette équation est vérifiée pour n = 0 et pour n = 1 puis, pour l'étendre par récurrence, à appliquer la formule de Simpson suivante :

Pour tout , en supposant que l'équation est vérifiée aux ordres n – 1 et n, on en déduit qu'elle l'est encore à l'ordre n + 1 car

d'après la relation de récurrence utilisée comme définition :

Cette formule de Simpson montre de plus que les polynômes sont orthogonaux par rapport à la fonction poids . En effet, pour deux entiers naturels n ≠ p, il vient :

Puis, avec le changement de variable , l'intégrale précédente se met sous la forme :

Équation différentielle[modifier | modifier le code]

Pour tout n les fonctions sont solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 :

[N 2].

Par suite, les polynômes de Tchebychev sont solutions de l'équation différentielle formelle :

Celle-ci peut aussi se mettre sous la forme d'une équation différentielle de Sturm-Liouville[N 3] :

Autres propriétés des polynômes de première espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n strictement positif,
  • Pour tout entier naturel n,Cette propriété se démontre aisément en considérant la forme trigonométrique de , le cas correspondant à θ = 0.
  • Quels que soient les entiers naturels m et n,
  • Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de Tn est 2n–1 et ses n racines sont
  • Pour tout entier n > 0, les extremums de Tn sur l'intervalle [–1, 1] sont atteints en (ce sont –1, 1 et les racines de Un–1), et .
  • La parité dépend de n :
  • Représentation intégrale :C est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de 1 – 2xz + z2.
  • Séries génératrices
    • ordinaire :
    • exponentielle :
    • pertinente en particulier en théorie du potentiel.
Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.

Définition et propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce[modifier | modifier le code]

Définition par récurrence[modifier | modifier le code]

Les polynômes de seconde espèce peuvent se définir par la même relation de récurrence que ceux de première espèce, avec des premiers termes différents :

avec et

Par récurrence, est un polynôme de degré n.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

Définition trigonométrique[modifier | modifier le code]

De la même façon que pour ceux de première espèce, les polynômes peuvent se définir alternativement par la forme trigonométrique de leur fonction polynomiale associée sur ]–1, 1[. On montre en effet que pour tout n :

L'une des démonstrations[N 1] consiste à remarquer que cette équation est vérifiée pour n = 0 et pour n = 1 puis, pour l'étendre par récurrence, à appliquer la formule de Simpson suivante :

Pour tout , en supposant que l'équation est vérifiée aux ordres n – 1 et n, on en déduit qu'elle l'est encore à l'ordre n + 1 car

d'après la relation de récurrence :

Par ailleurs, comme  :

En exprimant cette intégrale en fonction de la variable , on en déduit que les polynômes sont orthogonaux par rapport à la fonction poids  :

Autres propriétés des polynômes de seconde espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n positif ou nul,
  • Les Un sont orthogonaux pour le produit scalaire associé à la pondération sur l'intervalle [–1, 1]. Plus précisément :
  • Pour tout entier naturel n,
  • Pour tout entier n strictement positif, les n racines de Un sont
  • La parité dépend de n[N 4] :
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
  • Représentation intégrale :
C est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de 1 – 2xz + z2.
Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]


  • où les Cn(k) sont les polynômes de Gegenbauer et

  • F est la fonction hypergéométrique.

Historique[modifier | modifier le code]

Tchebychev a découvert ces familles en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer qu'en choisissant les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation, on minimise les écarts (cf. phénomène de Runge). Dans ce contexte, les ak(n) indiqués ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a, b] (par une transformation affine xb – a/2x + b + a/2), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

En effet, on peut montrer que l'erreur entre la fonction interpolée et le polynôme d'interpolation aux points x0,...,xn sur [a, b] s'exprime en

L'idée fut donc de minimiser pour n points donnés. Tchebychev montra que dans le cas où l'intervalle est [–1, 1] et la répartition des points est symétrique, le polynôme optimal prend les valeurs –L et +L alternativement et n + 1 fois exactement (on dit que le polynôme présente une alternance de Tchebychev[3]). C'est cette propriété qui permet de déduire que les abscisses de Tchebychev sont les meilleurs points d'interpolation pour minimiser les oscillations du polynôme d'interpolation et donc obtenir la meilleure convergence possible.

Applications[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Tchebychev permettent[4] de démontrer le théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.

Ils sont également impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Enfin, ils permettent une explication théorique de l'efficacité supérieure de la transformée en cosinus discrète dans le cadre de l'interpolation d'un signal numérique échantillonné, par rapport à d'autres méthodes comme le « zéro-padding + filtrage passe-bande ».

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b La formule de Moivre permet également d'obtenir une telle expression, en considérant les parties réelle et imaginaire du développement binomial de Dans la partie réelle, seuls interviendront les termes pairs de ce développement, soient ceux en . Ces termes peuvent toujours s'exprimer en fonctions de puissances de , puisque En revanche, l'expression de la fonction , soit la partie imaginaire du développement binomial, fera intervenir les termes impairs de celui-ci, soient ceux en . Ce n'est bien sûr pas une fonction de (puisqu'elle n'est pas paire — sauf si n = 0) mais, par la même technique que pour la partie réelle, c'est le produit de par un polynôme en .
  2. Cette équation différentielle a deux solutions évidentes, et .
  3. Il est encore possible de dire que le polynôme est une fonction propre de l'opérateur linéaire auto-adjoint , pour la valeur propre . L'orthogonalité entre les polynômes résulte de l'orthogonalité entre les fonctions propres d'un opérateur auto-adjoint correspondant à des valeurs propres distinctes.
  4. Si n est pair, peut donc s'exprimer comme un polynôme en

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Cf. par exemple (en) Arfken, Mathematical methods for physicists, 3e éd., Academic Press, 1985 (ISBN 0-12-059820-5), § 13.3 et § 13.4.
  2. Cf. par exemple Bureau des longitudes, Introduction aux éphémérides astronomiques, EDP Sciences, 1997 (ISBN 2-86883-298-9), p. 357 et s.
  3. P. Tchebychev, Œuvres I (lire en ligne).
  4. Jean-Michel Ferrard, « Polynômes de Chebyshev et théorème de Weierstrass », Mathématiques en MPSI, sur mathprepa.fr.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]