Polynôme de Tchebychev

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Les polynômes de Tchebychev, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev, constituent deux suites de polynômes (notés Tn pour la première espèce et Un pour la seconde, l'entier naturel n correspondant au degré). Ces deux séquences peuvent être définies la relation de récurrence :

\forall n\in\N\quad P_{n+2}(X)=2X~P_{n+1}(X)-P_n(X)

et les deux premiers termes :

T_0=1,~T_1=X~\text{pour la suite}~T, et
U_0=1,~U_1=2X~\text{pour la suite}~U.

Chacune est une suite de polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de fonctions, associé à la fonction poids w(x)=\left(1-x^2\right)^{-1/2} sur [–1, 1]. Ces polynômes constituent un cas particulier des polynômes ultrasphériques[1].

Une définition alternative de ces polynômes peut être donnée par les relations trigonométriques :

T_n\left(\cos\theta\right)=\cos\left(n\theta\right),\quad\text{soit :}\quad T_n(x)=\cos\left(n \arccos x\right), , et U_n\left(\cos\theta\right)=\frac{\sin(n+1) \theta}{\sin \theta},

ce qui revient, par exemple, à considérer T_n\left(\cos\theta\right) comme le développement de \cos\left(n\theta\right) sous forme de polynôme en \cos\theta.

Contrairement à d'autres familles de polynômes orthogonaux, tels ceux de Legendre, d'Hermite ou de Laguerre, les polynômes de Tchebychev n'ont pratiquement pas d'application directe en physique. En revanche, ils sont particulièrement utiles en analyse numérique pour l'interpolation polynomiale de fonctions. En premier lieu, en ce qui concerne le choix des points d'interpolation, comme les zéros de T_n(x) ou abscisses de Tchebychev, en vue de limiter le phénomène de Runge. Également, ils constituent une base alternative de polynômes par rapport à la base canonique X^n de \mathbb{R}[X] des polynômes de Lagrange, ce qui permet d'améliorer sensiblement la convergence[1]. Ils sont notamment utilisés pour le calcul des éphémérides astrononomiques[2]


Définition et propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs possibilités pour définir cette famille de polynômes. La plus simple est par la relation de récurrence, qui permet de générer rapidement l'expression des différents polynômes. Toutefois un telle définition ne permet guère d'établir les propriétés générales de ces polynômes, en premier lieu leur orthogonalité, aussi une autre définition, à partir des propriétés des fonctions trigonométriques, doit être envisagée.

Définition par la relation de récurrence[modifier | modifier le code]

Courbes représentatives des premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1 < x < 1: La fonction constante T0, T1, T2, T3, T4 and T5.

La définition classique des polynômes de Tchebychev de première espèce est le plus souvent donnée par la relation de récurrence suivante, définie pour x\in[-1,1]:

T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x), \ \ \forall n \ge 1,

avec T_0(x)=1 et T_1(x)=x.

Il est alors facile d'obtenir les expressions des premiers polynômes de Tchebychev de première espèce :

 T_0 = 1 \,
 T_1 = x \,
 T_2 = 2x^2 - 1 \,
 T_3 = 4x^3 - 3x \,
 T_4 = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5 = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6 = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7 = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8 = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9 = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,

Définition trigonométrique[modifier | modifier le code]

De façon alternative à la définition précédente, il est intéressant de mettre en évidence de l'existence de cette suite de polynômes orthogonaux à partir de relations trigonométriques de base. Il suffit pour cela de considérer l'identité :

2\cos n\theta \cos p\theta = \cos\left(n+p\right)\theta+\cos\left(n-p\right)\theta,

n et p sont deux entiers. Par suite, il est évident que si n ≠ p il vient:

\int_{0}^{\pi} {\cos n\theta \cos p\theta d\theta}=0.

Dès lors, en posant T_n(\theta)=\cos n\theta, \ \ \theta\in[0,\pi], et en considérant le changement de variable x=\cos\theta, il est évident que les deux premiers termes sont des polynômes:

T_0(x) = 1 et T_1(x)=x.

Par ailleurs en prenant p = 1 dans l'identité trigonométrique précédente, il vient la relation de récurrence utilisée comme définition :

2xT_n(x)=T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x), \ \ \forall n \ge 1.

Puisque T_0(x) et T_1(x) sont des polynômes, définis sur l'intervalle [-1,1], tous les T_n(x) sont donc également des polynômes, de degré n, définis sur le même intervalle[N 1]

Enfin, avec le changement de variable x=\cos\theta l'intégrale précédente se met sous la forme:

\int_{-1}^{+1}{T_n(x)T_p(x)\left(1-x^2\right)^{-1/2}\,\mathrm{d}x}=
\begin{cases}
0&\text{si}~n\ne p\\
\pi&\text{si}~n=p=0\\
\pi/2&\text{si}~n=p\ne 0.
\end{cases}
.

Cette relation exprime le fait que les polynômes T_n(x) sont orthogonaux par rapport à la fonction poids w(x)=\left(1-x^2\right)^{-\tfrac{1}{2}}.

Équation différentielle[modifier | modifier le code]

De façon évidente, pour tout n les fonctions T_n(\theta) sont solutions de l'équation différentielle:

\frac{d^2T_n}{d\theta^2}+n^2T_n=0.[N 2]

Par suite en effectuant le changement de variable x=\cos\theta il est facile de montrer que les polynômes de Tchebychev sont solutions de l'équation différentielle:

\left(1-x^2\right)T''_n-xT'_n+n^2T_n=0.

Celle-ci peut aussi se mettre sous la forme d'une équation différentielle de Sturm-Liouville[N 3]:

\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\tfrac{1}{2}}\frac{dT_n}{dx}\right)+n^2\left(1-x^2\right)^{-\tfrac{1}{2}}T_n=0.

Autres propriétés des polynômes de première espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n strictement positif,
T_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.
  • Pour tout entier naturel n,
T_n(1)=1.
Cette propriété se démontre aisément en considérant la forme trigonométrique de T_n, le cas x = 1 correspondant à θ = 0.
  • Quels que soient les entiers naturels m et n et pour tout x réel,
T_n(T_m(x))=T_{mn}(x).
  • Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de Tn est 2n–1 et ses n racines sont
a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\quad \forall k\in\{1,\ldots,n\}.
  • Pour tout entier n > 0, les extremums de Tn sur l'intervalle [–1, 1] sont atteints en
e_k^{(n)}=\cos\left(\frac{k \pi}{n}\right),\quad \forall k\in\{0,\ldots,n\} (ce sont –1, 1 et les racines de Un–1), et T_n(e_k^{(n)})=(-1)^k.
  • La parité dépend de n :
T_n(-x)=(-1)^nT_n(x).
  • Représentation intégrale :
T_n(x)=\frac1{4i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}zC est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de 1 – 2xz + z2.
Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.


Définition et propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce[modifier | modifier le code]

Définition par récurrence[modifier | modifier le code]

Les polynômes de seconde espèce peuvent se définir par la même relation de récurrence que ceux de première espèce, avec des premiers termes différents :

U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x), \ \ \forall n \ge 1,

avec U_0(x)=1 et U_1(x)=2 x. Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont alors :

 U_0 = 1 \,
 U_1 = 2x \,
 U_2 = 4x^2 - 1 \,
 U_3 = 8x^3 - 4x \,
 U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5 = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6 = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7 = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8 = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9 = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x.

Définition trigonométrique[modifier | modifier le code]

De la même façon que pour ceux de première espèces les polynômes U_n peuvent se mettre sous forme trigonométrique. Toutefois, et comme il a déjà été remarqué dans une note détaillée que les fonctions de la forme V_n(\theta)=\sin n\theta ne pouvait pas s'exprimer sous la forme de polynômes en x = \cos \theta[N 1],[N 4]. Toutefois il est facile de montrer via la formule de Moivre que les fonctions de la forme:

U_n(\theta)=\frac{\sin \left(n+1\right)\theta}{\sin\theta},

peuvent se mettre sous la forme de polynômes, de degré n, de la variable x = \cos\theta. Avec une telle définition, il est clair que U_0(x)=1 et U_1(x)=2x.

Par ailleurs, il en utilisant l'identité trigonométrique classique \sin\left(a+b\right)=\sin a \cos b + \sin b \cos a, successivement avec a = \left(n+1\right)\theta et b=\pm \theta, il est facile de montrer que pour tout n\ge 1:

U_{n+1}(\theta)+U_{n-1}(\theta)=2\cos\theta\frac{\sin\left(n+1\right)\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta U_n,

d'où en termes de la variable x=\cos\theta la relation de récurrence:

2xU_n=U_{n+1}+U_{n-1}.

Là encore, puisque les deux premiers termes sont des polynômes, toutes les autres fonctions de la suite seront également des polynômes, définis sur l'intervalle [-1,+1].

Par ailleurs comme:

\int_{0}^{\pi}{U_p(\theta)U_n(\theta)\sin^2 \theta d\theta}=\int-{0}^{\pi}{\sin (p+1)^\theta \sin (n+1)\theta d\theta}=0 si p\ne n,

par suite en exprimant cette intégrale en fonction de la variable x, il est possible d'en déduire que les polynômes U_n sont orthogonaux par rapport à la fonction poids w(x)=\left(1-x^2\right)^{1/2}:

\int_{-1}^{+1}{U_n(x)U_p(x)\left(1-x^2\right)^{1/2} \ dx}=0 si p\ne n.

Autres propriétés des polynômes de seconde espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n positif ou nul,
U_n(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}k~(2x)^{n-2k}.
  • Les Un sont orthogonaux pour le produit scalaire associé à la pondération \sqrt{1-x^2} sur l'intervalle [–1, 1]. Plus précisément :
\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
0&\text{si}~n\ne m\\
\pi/2 &\text{si}~n=m.
\end{cases}
  • Pour tout entier naturel n,
U_n(1)=n+1.
  • Pour tout entier n strictement positif, les n racines de Un sont
e_k^{(n+1)}=\cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right),\quad\forall k\in\{1,\ldots,n\}.
  • La parité dépend de n :
U_n(-X)=(-1)^nU_n(X).
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
\forall x \in\R,(1-x^2)U_n''(x)-3xU_n'(x)+n(n+2)U_n(x)=0.
  • Représentation intégrale :
U_n(x)=\frac1{2i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac1{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}zC est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de 1 – 2xz + z2.
\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}.
Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.


Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Tchebychev a découvert ces familles en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer qu'en choisissant les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation, on minimise les écarts (cf. phénomène de Runge). Dans ce contexte, les ak(n) indiqués ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a, b] (par une transformation affine xb – a/2x + b + a/2), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

En effet, on peut montrer que l'erreur entre la fonction interpolée et le polynôme d'interpolation aux points x0,...,xn sur [a, b] s'exprime en

\max_{x \in [a,b]}\left| (x-x_0)...(x-x_n) \right| \frac{\|f^{(n+1)}\|_{\infty,[a,b]}}{n!}.

L'idée fut donc de minimiser L= \max_{x \in [a,b]}\left| (x-x_0)...(x-x_n) \right| pour n points donnés. Tchebychev montra que dans le cas où l'intervalle est [–1, 1] et la répartition des points est symétrique, le polynôme optimal prend les valeurs –L et +L alternativement et n + 1 fois exactement (on dit que le polynôme présente une alternance de Tchebychev[3]). C'est cette propriété qui permet de déduire que les abscisses de Tchebychev sont les meilleurs points d'interpolation pour minimiser les oscillations du polynôme d'interpolation et donc obtenir la meilleure convergence possible.

Applications[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Tchebychev permettent[4] de démontrer le théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.

Ils sont également impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Enfin, ils permettent une explication théorique de l'efficacité supérieure de la transformée en cosinus discrète dans le cadre de l'interpolation d'un signal numérique échantillonné, par rapport à d'autres méthodes comme le « zéro-padding + filtrage passe-bande ».

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Il a déjà été indiqué que sous forme trigonométrique le polynôme T_n correspond au développement en puissance de \cos\theta de \cos n\theta. Or la formule de Moivre e^{in\theta}=\cos n \theta + i \sin n \theta permet également d'obtenir une telle expression, en considérant la partie réelle du développement binomial de \left(\cos \theta + i\sin \theta\right)^n. Il est évident que seuls interviendront les termes pairs de ce développement, soient ceux en {n \choose 2p} \left(-1\right)^p \cos ^{n-2p}\theta \sin^{2p}\theta, \ \ p = 0,...,n/2. Ces termes peuvent toujours s'exprimer en fonctions de puissances de \cos \theta, puisque \sin^2 \theta = 1-\cos^2\theta. En revanche l'expression de \sin n \theta, soit la partie imaginaire du développement binomial, fera intervenir les termes impairs de celui-ci, soient ceux en {n \choose 2p+1} \left(-1\right)^p \cos ^{n-2p-1}\theta \sin^{2p+1}\theta, \ \ p = 0,...,(n-1)/2. Il sera pas possible d'exprimer la fonction V_n=\sin n\theta</math> sous forme de polynômes x=\cos \theta puisque \sin^{2p+1}\theta = \left(1-\cos^2\theta\right)^{p+1/2}.
  2. Cette équation différentielle à deux solutions évidentes, T_n = \cos n \theta et V_n = \sin n \theta. Si la première peut se mettre sous forme de polynôme de x=\cos\theta il a déjà été indiqué que la seconde ne peut pas se mettre sous cette forme.
  3. Il est encore possible de dire que le polynôme T_n est une fonction propre de l'opérateur linéaire auto-adjoint \left(1-x^2\right)^{\tfrac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\tfrac{1}{2}}\frac{d}{dx}\right), pour la valeur propre -n^2. L'orthogonalité entre les polynômes résulte de l'orthogonalité entre les fonctions propres d'un opérateur auto-adjoint correspondant à des valeurs propres distinctes.
  4. Pas plus que sous la forme de polynômes en \sin\theta d'ailleurs, et pour les mêmes raisons.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Cf. par exemple Arfken, Mathematical methods for physicists, 3rd ed., Academic press, 1985, ISBN 0-12-059820-5, § 13.3 et § 13.4 .
  2. Cf. par exemple Bureau des longitudes, Introduction aux éphémérides astronomiques, EDP Sciences, 1997, ISBN 2-86883-289-9, pages 357s .
  3. P. Tchebychev, Œuvres I (lire en ligne).
  4. Jean-Michel Ferrard, « Polynômes de Chebyshev et théorème de Weierstrass », Mathématiques en MPSI, sur mathprepa.fr.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]