Polynôme de Tchebychev

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Les polynômes de Tchebychev, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev, constituent deux familles de polynômes (notés Tn pour la première espèce et Un pour la seconde, l'entier naturel n correspondant au degré) définis par les relations trigonométriques :

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta),\quad\text{soit :}\quad T_n(x)=\cos(n \arccos x),
U_n(\cos(\theta))=\frac{\sin((n+1) \theta)}{\sin \theta},

ce qui revient, par exemple, à considérer T_n(\cos(\theta)) comme le développement de \cos(n\theta) sous forme de polynôme en \cos(\theta).

De manière plus globale, l'une et l'autre suite sont définies par la relation de récurrence :

\forall n\in\N,~P_{n+2}(X)=2X~P_{n+1}(X)-P_n(X)

et les deux premiers termes :

T_0=1,~T_1=X~\text{pour la suite}~T,
U_0=1,~U_1=2X~\text{pour la suite}~U.

Chacune de ces deux familles est une suite de polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de fonctions associé à une certaine pondération sur [–1, 1].

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n strictement positif,
T_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.
  • Les Tn sont orthogonaux pour le produit scalaire associé à la pondération \frac1{\sqrt{1-x^2}} sur l'intervalle ]–1, 1[. Plus précisément :
\int_{-1}^1 \frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=
\begin{cases}
0&\text{si}~n\ne m\\
\pi&\text{si}~n=m=0\\
\pi/2&\text{si}~n=m\ne 0.
\end{cases}
  • Pour tout entier naturel n,
T_n(1)=1.
  • Quels que soient les entiers naturels m et n et pour tout x réel,
T_n(T_m(x))=T_{mn}(x).
  • Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de Tn est 2n–1 et ses n racines sont
a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\quad \forall k\in\{1,\ldots,n\}.
  • Pour tout entier n > 0, les extremums de Tn sur l'intervalle [–1, 1] sont atteints en
e_k^{(n)}=\cos\left(\frac{k \pi}{n}\right),\quad \forall k\in\{0,\ldots,n\} (ce sont –1, 1 et les racines de Un–1), et T_n(e_k^{(n)})=(-1)^k.
  • La parité dépend de n :
T_n(-x)=(-1)^nT_n(x).
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
(1-x^2)T_n''(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0.
  • Représentation intégrale :
T_n(x)=\frac1{4i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}zC est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de \displaystyle 1-2xz+z^2.
Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

 T_0 = 1 \,
 T_1 = X \,
 T_2 = 2X^2 - 1 \,
 T_3 = 4X^3 - 3X \,
 T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1 \,
 T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X \,
 T_6 = 32X^6 - 48X^4 + 18X^2 - 1 \,
 T_7 = 64X^7 - 112X^5 + 56X^3 - 7X \,
 T_8 = 128X^8 - 256X^6 + 160X^4 - 32X^2 + 1 \,
 T_9 = 256X^9 - 576X^7 + 432X^5 - 120X^3 + 9X \,

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n positif ou nul,
U_n(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}k~(2x)^{n-2k}.
  • Les Un sont orthogonaux pour le produit scalaire associé à la pondération \sqrt{1-x^2} sur l'intervalle [–1, 1]. Plus précisément :
\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
0&\text{si}~n\ne m\\
\pi/2 &\text{si}~n=m.
\end{cases}
  • Pour tout entier naturel n,
U_n(1)=n+1.
  • Pour tout entier n strictement positif, les n racines de Un sont
e_k^{(n+1)}=\cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right),\quad\forall k\in\{1,\ldots,n\}.
  • La parité dépend de n :
U_n(-X)=(-1)^nU_n(X).
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
\forall x \in\R,(1-x^2)U_n''(x)-3xU_n'(x)+n(n+2)U_n(x)=0.
  • Représentation intégrale :
U_n(x)=\frac1{2i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac1{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}zC est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de \displaystyle 1-2xz+z^2.
\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}.
Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

 U_0 = 1 \,
 U_1 = 2X \,
 U_2 = 4X^2 - 1 \,
 U_3 = 8X^3 - 4X \,
 U_4 = 16X^4 - 12X^2 + 1 \,
 U_5 = 32X^5 - 32X^3 + 6X \,
 U_6 = 64X^6 - 80X^4 + 24X^2 - 1 \,
 U_7 = 128X^7 - 192X^5 + 80X^3 - 8X \,
 U_8 = 256X^8 - 448 X^6 + 240 X^4 - 40 X^2 + 1 \,
 U_9 = 512X^9 - 1024 X^7 + 672 X^5 - 160 X^3 + 10 X.

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Tchebychev a découvert ces familles en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer qu'en choisissant les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation, on minimise les écarts (cf. phénomène de Runge). Dans ce contexte, les ak(n) indiqués ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a, b] (par une transformation affine x\mapsto\tfrac{b-a}{2}x+\tfrac{b+a}{2}), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

En effet, on peut montrer que l'erreur entre la fonction interpolée et le polynôme d'interpolation aux points x0,...,xn sur [a, b] s'exprime en

\max_{x \in [a,b]}\left| (x-x_0)...(x-x_n) \right| \frac{\|f^{(n+1)}\|_{\infty,[a,b]}}{n!}.

L'idée fut donc de minimiser L= \max_{x \in [a,b]}\left| (x-x_0)...(x-x_n) \right| pour un nombre n de points donné. Tchebychev montra que dans le cas où l'intervalle est [–1, 1] et la répartition des points est symétrique, le polynôme optimal prend les valeurs –L et +L alternativement et n + 1 fois exactement (on dit que le polynôme présente une alternance de Tchebychev[1]). C'est cette propriété qui permet de déduire que les abscisses de Tchebychev sont les meilleurs points d'interpolation pour minimiser les oscillations du polynôme d'interpolation et donc obtenir la meilleure convergence possible.

Intérêt[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Tchebychev permettent[2] de démontrer le théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.

Ils sont également impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Enfin, ils permettent une explication théorique de l'efficacité supérieure de la transformée en cosinus discrète dans le cadre de l'interpolation d'un signal numérique échantillonné, par rapport à d'autres méthodes comme le « zéro-padding + filtrage passe-bande ».

Références[modifier | modifier le code]

  1. P. Tchebychev, Œuvres I (lire en ligne).
  2. Jean-Michel Ferrard, « Polynômes de Chebyshev et théorème de Weierstrass », Mathématiques en MPSI, sur mathprepa.fr.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]