Discussion:Divergence (analyse vectorielle)

Titre

Je propose de renommer cet article en Divergence (opérateur) ou Divergence (mathématiques), car c'est avant tout un opérateur mathématique, et que ce titre me semble le résultat d'un compromis hasardeux. — Florian, le 22 janvier 2007 à 22:42 (CET)

cela n'a rien d'hasardeux vu l'importance de la divergence par ex dans les equations de Maxwell ou celles de la dynamique des fluides il me semble que wiki se doit d'encourager la pluridisciplinarité

je suis moi-même plutot mathématicien, mais je peux mesurer le mal que font certains par leur exclusivisme

Jaclaf 29 janvier 2007 à 11:11 (CET)

Je suis d'accord avec toi, mais à ce rythme-là, renommons gradient, intégrale, dérivée, rotationnel, et pourquoi pas vecteur, tenseur,... Je m'arrête là. Le titre d'un article doit être le plus court possible (convention #1) : les parenthèses ne sont là que pour les cas d'homonymie (convention #16). Ca n'est pas de l'exclusivisme. Si on veut encourager la pluridisciplinarité, on peut écrire une section Applications, Exemples ou Voir aussi. — Florian, le 29 janvier 2007 à 12:10 (CET)

J'ai oublié de me répondre : Renommage effectué. — Florian, le 29 janvier 2007 à 12:10 (CET)

Forme

je ne suis pas entièrement convaincu mais soit ... il y a + important cet article part billes en têtes sur des choses vraies, mais un peu trop technniques pour un point de départ (tenseur d'ordre n --> tenseur d'ordre n-1 et la formule qui se trovue à la fin n'est ni la plus parlante ni la plus utile... je vais réfléchir à tout ça Jaclaf 29 janvier 2007 à 16:42 (CET)

C'est exact, et je te remercie de t'y intéresser. Je vois quelques points que je ne trouve pas clairs :

• 2^e § : ne serait-ce pas un champ tensoriel d'ordre 1 ?
• 5^e § : si on parle de trace, on devrait préciser la nature matricielle de la différentielle – peut-être en parlant de la matrice jacobienne ? D'autre part, n'y a-t-il pas une notation plus standard ?
• 7^e § : on parle du flot au début, puis il n'intervient plus. Quel intérêt  ? D'ailleurs est-ce une notion identique au flux ? Ensuite on parle de L_X, est-ce la dérivée de Lie ? Quoi qu'il en soit, il faudrait préciser.
• Enfin, dernier § : la vulgarisation est très intéressante, mais il faudrait l'expliquer un peu mieux.

Voilà, je laisse la main, vu que moi j'y connais rien  — Florian, le 29 janvier 2007 à 18:37 (CET)

quelques réponses

mes modifs récentes (ce n'est pas fini j'ai mis des titres à remplir !) tiennent compte je crois de tes remarques

le flot d'un champ de vecteurs (qui mériterait qu'on en parle dans l'article champ de vecteurs, ce sont ses courbes intégrales vues d'un ^pt de vue "dynamique"

le flux est une intégrale de surface

je ne suis pas fana de la notation $\partial A\,$ pour la différentielle !

j'imagine que la question des notations a été disuctée quelque part. Ce n'est pas simple : les gens suivant le milieu d'où ils viennent (des math ou de la physique par ex) ont leurs habitudes et se bloquent parfois quand celles-ci sont bousculées ... Jaclaf 30 janvier 2007 à 16:37 (CET)

Merci beaucoup, c'est du super boulot, on pourrait presque supprimer les bandeaux d'ébauche et faire pareil sur le rotationnel . Il y a juste un détail que je ne comprends pas : pourquoi cherches-tu à forcer le rendu en PNG avec une espace fine, surtout pour des nombres, alors que ca bousille invariablement la mise en page (hauteur de ligne) ? Je sais que le rendu HTML est aussi moche, mais ne penses-tu pas qu'il faudrait laisser au lecteur la possibilité de choisir, via ses préférences – En tout cas pour les nombres ? — Florian, le 2 février 2007 à 20:32 (CET)

chacun a ses habitudes et puis la norme n'est pas claire en effet 2 c'est plus joli que $2\,$ est-ce cela que tu veux dire ?Jaclaf 5 février 2007 à 14:27 (CET)

Oui, le problème avec TeX ici c'est que les images générées dépassent systématiquement la hauteur de ligne, et que c'est moche. Son utilisation est discutable pour des équations, mais en ce qui concerne les nombres, c'est carrément contre-productif. Pour l'aspect normatif, il n'y en a pas. Disons que c'est la première fois que je vois des nombres seuls dans une formule TeX, donc je dirais que le standard de fait est de ne pas différencier le texte des nombres, sauf s'ils font partie d'une équation. Je te donc saurais gré, si tu tiens vraiment à les mettre là-dedans, en tout cas de ne pas forcer le rendu en image avec une espace fine. Idem d'ailleurs pour les autres équations, mais là ca n'est que mon avis, on devrait toujours laisser le choix à l'utilisateur, sauf lorsque c'est assurément moche. — Florian, le 5 février 2007 à 22:26 (CET)

Sur la définition

Il n'est pas évident de présenter la notion de divergence, rencontrée tant en géométrie qu'en physique. Ce message fait suite aux trois dernières modifications [1] ; [2] et [3]. Avant toute chose, il faut rechercher une cohérence dans la définition de la divergence. L'ancienne version commençait par la définition en dimension 3 dans des coordonnées cartésiennes, j'imagine que c'est la première définition rencontrée par un étudiant en physique. C'est la raison pour laquelle j'ai conservé ce premier paragraphe.

Dans la modification [4], l'utilisateur Kropotkine 113 (d · c · b) introduit la divergence par la notion de flux. Néanmoins, l'application du théorème de Stokes permet de démontrer l'équivalence entre les définitions. Pour cette raison, il me semble plus judicieux de déplacer cette "définition" plus bas [5]. Du point de vue mathématique, cette approche pose a priori le problème de l'existence, l'unicité étant évidente. La définition par la relation $d\left(\iota (X)\Omega \right)=\div X\Omega$ est la version locale de cette approche par le flux.

Dans son commentaire, Kropotkine 113 (d · c · b) mentionne l'ajout d'un contenu supprimé. C'était vrai pour le flux, mais involontaire. Au contraire, l'égalité $L_{A}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\operatorname {div} {\vec {A}}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)$ n'a pas du tout été supprimée. Elle a été mise en avant comme définition de la divergence.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 10 octobre 2009 à 13:24 (CEST)

Ok, vu. Est-ce qu'il y a la moindre contre-indication à ce que je remette le lien vers formule d'Ostrogradsky (et même cette formule elle-même tant qu'à faire) dans la section « définition en dimension 3 » afin d'expliciter rapidement d'où sort cette formulation de la divergence et de mieux coller à la référence que j'ai introduite ? Par ailleurs il est à mon avis utile de laisser un passage explicatif sur l'utilisation de la divergence pour les explications de conservations de volume ou de grandeurs volumiques en Physique, parce c'est le cœur de son utilisation (en physique) ; dans la version actuelle la conservation du volume est bien traitée mais pas son utilisation en physique. Une ligne dans la section « Définition en fonction d'une forme volume » suffirait. Merci en tout cas pour le travail effectué sur cet article. Kropotkine_113 10 octobre 2009 à 13:36 (CEST)

Je viens de l'ajouter dans le paragraphe dans le flux. Le nom "formule d'Ostrogradsky" désigne-t-il l'égalité concernée seulement en dimension 3, ou en toutes dimensions ? Je n'ai pas les compétences nécessaires pour rédiger une synthèse sur les applications de la divergence en physique, mais il y a certainement de gros manques dans cette direction. Pourtant, il me semble indispensable d'ajouter un paragraphe donnant des propriétés fondamentales en physique. Par exemple, le champ magnétique est de divergence nulle avec applications à la clef.

J'ai apporté une modification [6] dans la page divergence. Si la divergence, le rotationnel et le gradient comptent effectivement parmi les opérations les plus importantes sur les tenseurs, il serait réducteur d'affirmer que ce sont les seuls. Mieux vaut ne pas avancer de liste, qui ne saurait être exhaustive. Nefbor Udofix  -  Poukram! 10 octobre 2009 à 13:58 (CEST)

Je ne connais la formule d'Ostrogradsky qu'en physique où elle n'est utilisée qu'en 3D, mais il est possible qu'elle ait une extension en toutes dimensions. Concernant les utilisations physiques de la divergence, j'essaierai de rédiger une petite section reprenant les applications en électromagnétisme, en mécanique des fluides et plus généralement en ce qui concerne les propriétés de conservation de grandeurs. Kropotkine_113 10 octobre 2009 à 15:18 (CEST)

Refonte du résumé introductif nécessaire (et suite du Bistro)

Bonjour, en relisant certaines pages mathématiques depuis plusieurs années, et suite à une discussion de fin d'année sur le Bistrot, j'ai l'impression que certains contributeurs considèrent malheureusement une encyclopédie comme un recueil de travaux académiques dédié à des spécialistes du sujet. Je suis plutôt en désaccord avec ce point de vue, étant plus universaliste, et donc pensant que, au minimum dans les résumés introductifs, toute personne ayant un niveau baccalauréat devrait pouvoir se plonger avec intérêt dans tout article de l'encyclopédie. Pour illustrer mon propos j'ai (rapidement, désolé pour les puristes) traduit les résumés introductifs de es:WP et en:WP (qui ne sont pas parfaits), pour OUVRIR la discussion sur la création par la communauté d'une introduction qui introduit vraiment un sujet au lieu de le définir techniquement (ce qui devra aussi apparaître dans l'article, ne me faites pas dire ce que je n'ai pas dit :)).

Wikipedia en espagnol - Divergence (mathématique) : « La divergence d'un champ vectoriel mesure la différence entre les flux entrants et sortants d'un champ vectoriel sur la surface entourant un volume de contrôle, ainsi si le champ possède des « sources » ou des « puits », la divergence dudit champ peut être différente de zéro. »

Wikipedia en anglais - Divergence : « En calcul vectoriel, la divergence est un opérateur vectoriel qui mesure l'importance d'une source ou d'un puits d'un champ vectoriel en un point donné à l'aide d'une grandeur scalaire. Plus techniquement, la divergence représente la densité de volume du flux sortant d'un champ vectoriel dans un volume infinitésimal entourant un point donné. On peut par exemple regarder l'air quand il se réchauffe ou se refroidit. Le champ vectoriel correspondant à ce cas est la vitesse de l'air qui se déplace en un point. Si l'air est chauffé dans une zone, il va s'étendre dans toutes les directions de telle sorte que son champ de vitesse pointe vers l'extérieur de cette région. Par conséquent, la divergence du champ de vitesse dans cette région aura une valeur positive, la région agissant comme une « source ». Si l'air se refroidit et se contracte, la divergence devient négative et la région est appelée un « puits ». »

Wikipedia en français au 30/12/12 - Divergence (analyse vectorielle) : « En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs mesure la propension à ce que le flot de ce champ ne préserve pas une forme volume (volume généralisé). La divergence de X notée div X est une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première de la forme volume Ω le long des trajectoires du champ X. Des définitions plus précises sont données dans le corpus de l'article. L'opérateur divergence est un opérateur différentiel linéaire aux dérivées partielles premières, qui envoie un champ tensoriel d'ordre k en un champ d'ordre k - 1. En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, cet opérateur intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell. » NB: Le fr:WP est le seul qui m'a obligé à réécrire des variables dès le résumé.

Houston, we have a problem. AUCUNE de mes connaissances ayant arrêté avant une licence scientifique n'arrivera à comprendre rapidement ce que représente la divergence en lisant le résumé INTRODUCTIF, comment du coup imaginer un coup de projecteur positif via un "Lumière sur le sujet". :/ Xentyr (d) 30 décembre 2012 à 20:08 (CET)

Je passe en touriste et pilier de Bistro parce qu'on en parle là-bas. Simplement pour souligner qu'il y a déjà eu un échange plus ou moins à ce sujet plus haut sur la page de discussions (quelle définition donner ?). Je tiens à mettre en relief la difficulté, assez commune dans les articles de mathématiques, due au fait que plusieurs concepts imbriqués les uns dans les autres ont le même nom : divergence d'un champ de vecteurs de R^3, d'un champ de vecteurs de R^n, d'un champ de vecteurs sur une variété riemannienne, d'un champ de tenseurs sur une variété riemannienne. Lesquels évoquer en résumé introductif ? Ma suggestion serait d'être "éparpilloniste" - un article limité aux champs de vecteurs dans R^n et un autre pour l'analyse sur les variétés faciliterait le jonglage entre niveaux. Par ailleurs, il est risqué de commencer par le résumé : il me semble plus facile d'écrire une vulgarisation (sourcée) avec beaucoup de mots et des figures et la faire figurer dans l'article, _puis_ de se hasarder à en faire un résumé qu'on comprend dont on est fier et que le lecteur de passage trouve tout aussi imbitable que la version actuelle que de faire directement le résumé dont on est fier et qu'on est seul à comprendre. Le tout sans l'intention d'aider donc, mais en faisant deux suggestions : envisager l'éclatement en deux articles, considérer le corps de l'article comme prioritaire sur le résumé introductif (qu'on peut si on est horrifié par son état actuel réduire dans un premier temps à une phrase ou deux pour inviter le lecteur à lire plus bas). Touriste (d) 30 décembre 2012 à 21:26 (CET)

J'en conviens tout à fait, je suis bien au fait de la difficulté quand on a pléthore de termes pour signifier la même chose. Mais rien n'interdit de développer ces différents champs lexicaux parallèles, connexes ou autres dans le corps de l'article. Plutôt que de choisir arbitrairement une vue en intro ou tout caser en max 400 mots, j'avoue préférer dans ce cas une définition courte, à l'espagnole ou bien comme sur le laplacien pour rester sur FR. Si dans le développement, on se rend compte qu'il y a vraiment BEAUCOUP de matière sur une partie du sujet, les articles détaillés, les palettes réunissant des vues connexes, etc. permettent de sortir de la mono-page qui peut apparaître étriquée.

En restant technique sur l'article en question, uniquement dans la 1^re partie, au lieu d'1 ou 2 phrase(s) expliquant le pourquoi de plusieurs définitions de cette notion, on a directement un listing de formules. Si on descend d'un niveau, sur la définition en dim 3, par exemple, il n'y a rien de rédigé, à part la dernière phrase qui note un désavantage à être en base orthonormée sans en expliquer pourquoi c'est un inconvénient. Sans mon bagage, je resterais sur ma faim d'un point de vue encyclopédique ici (la première de plusieurs définitions qui m'est donnée finit par un 'ouais mais bof'). Sur la définition suivante, on a une formule avant les termes expliquant la formule : En tant que lecteur, je me retrouve donc à faire des aller-retour incessants entre la formule et ce qui suit pour être sûr d'avoir bien compris. On parle d'ordre n-1, du coup je me retrouve à tout re-scanner pour voir qu'on parle de IR(n) plus haut. Bref, j'ai l'impression qu'ici on pêche par excès de concision alors que justement étant dans le corps de l'article, on a tout notre temps pour expliquer et développer et non « copier-coller » les formules et décrire chaque terme. Finalement, le paragraphe dans Analyse vectorielle#Opérateur divergence semble être l'introduction qui est absente (!) ici. Côté physique aussi, on est très (trop ?) "technique". J'arrête ici, mais en lisant jusqu'au bout j'ai la désagréable impression d'être sur un condensé/digest de formules directement tirées de manuels et j'ai l'impression que le sujet (la « divergence en analyse vectorielle ») n'est pas entièrement abordé. Par exemple, je ne crois pas avoir vu la notion de jauge ici alors que je crois me rappeler qu'elle est liée aussi à la divergence (vagues souvenirs, hein), ni celle de chaleur. L'ampleur de la tâche est énorme, je le sais, mais j'avoue être assez perplexe quand malgré nombre de contributeurs excellents dans ces domaines, on se retrouve au final avec un Wikipédia minimaliste ici. :-/ Xentyr (d) 30 décembre 2012 à 23:10 (CET)

Ah "des goûts et des couleurs". Le résumé dans sa version espagnole me semblait le moins bon des trois (le meilleur étant la version anglaise, et aucun ne me convaincant tout à fait). Pour moi une des choses qui manquent de la façon la plus évidente dans le résumé est la formule en sigma des dA_i sur dx_i, éventuellement seulement en dimension 3 : pour beaucoup de personnes qui suivent un cours de calculus élémentaire la divergence se limite à ça. Comme quoi on n'a pas franchement les mêmes goûts ! Le résumé introductif français sur le laplacien est lisible, mais pas très convainquant à mon goût (mais meilleur que l'article qu'il est supposé résumer c'est sûr !). Pour ta dernière remarque, c'est normal que les articles restent faibles : améliorer sérieusement un article, ça prend du temps et 10 à 20 utilisateurs convaincus, ça améliore 100 à 300 articles sur une carrière wikipédienne. Autant dire une goutte d'eau parmi les articles de mathématiques. Touriste (d) 30 décembre 2012 à 23:24 (CET)

Si je devais en choisir une parmi d'autres pour le résumé, en moindre surprise, je suis d'accord toi, j'aurais aussi placé ces collègues grad et rot, mais si ça devient trop long, dans ce cas, je reste sur une vision à l'espagnole (= sur la formeconcision, pas sur le fond :)). En aparté, l'intro rédigée (garantie sans variable ni formule) des Équations de Maxwell me semble aussi intéressante. Xentyr (d) 30 décembre 2012 à 23:41 (CET)

Je suis sensible à l'idée d'une introduction sans formules et sans trop de termes techniques.

Je propose "En analyse vectorielle, la divergence d'un champ de vecteurs mesure la variation infinitésimale du volume produite par la transformation infinitésimale associée.

En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, cet opérateur intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell."

ensuite, on explique d'emblée dans le paragraphe définition ce que cela veut dire, par un calcul à la physicienne (rien de péjoratif !) : on regarde comment x ---> x+ tX(x) transforme les volumes et on prend la dérivée par rapport à t.

En fait, derrière la déf de la divergence il y a l'idée que la dérivée d'un déterminant est une trace.Jaclaf (d) 31 décembre 2012 à 12:53 (CET)

A titre perso, et en jouant toujours aussi le schtroumpf grognon, je suis tout à fait d'accord pour éviter les termes techniques dans le résumé introductif, dans la mesure du possible (et ne vois en revanche aucune raison défendable de chercher à y éviter les formules, du moins quand l'exposé des notations ne prend pas une place déraisonnable).

En revanche la suggestion que tu fais me semble contenir un vocabulaire technique, notamment « transformation infinitésimale associée » qui m'est plus opaque encore que celui figurant dans la version actuelle, que je ne défends toujours pas. Je ne suis pas du tout convaincu, et continue à penser qu'il faut d'abord écrire l'article, puis le résumer et non procéder selon la démarche inverse. Touriste (d) 31 décembre 2012 à 13:11 (CET)

En attendant de trouver un consensus, je propose de nous débarrasser des notations inutiles de l'introduction (vu qu'il n'y a pas de formule aujourd'hui) et de retirer la mention à l'article pour la rendre autonome, ça donnerait :

« En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs mesure la propension à ce que le flot de ce champ ne préserve pas une forme volume (volume généralisé).

On peut, entre autres, définir la divergence du champ X, notée div X, comme étant une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première d'une forme volume le long des trajectoires dudit champ.

Ainsi, l'opérateur divergence est un opérateur différentiel linéaire de degré 1, défini sur les champs de vecteurs et à valeurs dans les fonctions. Il se généralise en un opérateur qui transforme un champ tensoriel d'un ordre donné en un champ d'ordre inférieur.

En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, cet opérateur intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell. »

Qu'en pensez-vous ? Xentyr (d) 31 décembre 2012 à 14:10 (CET)

ça commence à être comme dans le meunier, son fils et l'âne.

Faisons le point sur quelques termes techniques

flot (d'un champ de vecteurs) :suppose une bonne compréhension des équa diff et de la continuité des solutions par rapport aux conditions initiales.

flux : intégrale de surface.Relativement sophistiqué malgré tout

forme volume : NON alors. Dans une intro, et même dans une première def, le volume euclidien suffit.

transf infinitésimale : synonyme en fait de champ de vecteurs. On embraie dans le paragraphe definition en disant (en gros) la chose suivante :

au champ de vecteur X on associe la famille F_t de transformations définies par

Jaclaf (d) 1 janvier 2013 à 13:29 (CET)

x --->F_t(x)= x+tX(x)

par cette transformation, le volume d'un parallèlépipède infinitésimal Delta x_1 ....Delta x_n est multiplié par det(dF_t) (différentielle).

C'est ce qui justifie la définition de la divergence comme la dérivée par rapport à t (pour t=0) de det(dF_t). Cette dernière assertion est math correcte, ce qui précède est du baratin, mais du baratin qui peut aider.

Par ailleurs, cette discussion m'a convaincu qu'il faudrait virer de cet article la divergence d'un tenseur pour la mettre dans un article spécifique.

Jaclaf (d) 31 décembre 2012 à 16:17 (CET)

Hypothèse : Les gens qui s'arrêteront au résumé introductif de ce type d'article ont de grandes chances d'être des personnes qui ont besoin d'un rappel, ou de comprendre rapidement de quoi il s'agit en annexe d'un autre sujet. Elles n'iront pas plus loin dans le corps de l'article. Si on pousse la vulgarisation, on irait jusqu'à :

« En analyse vectorielle, la divergence d'un champ de vecteurs mesure de manière scalaire la tendance d'un volume à s'étendre.

Plus précisément, on peut, entre autres, définir la divergence du champ X, notée div X, comme étant une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première d'une forme volume le long des trajectoires dudit champ. C'est un opérateur différentiel linéaire défini sur les champs de vecteurs et à valeurs dans les fonctions.

Cet opérateur intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell. »

on finira peut-être par arriver à qch

à partir du texte c-dessus (que l'auteur a apparemment oublié de signer) je propose

En analyse vectorielle, la divergence d'un champ de vecteurs mesure la variation du volume sous l'action des transformations définies par ce champ.

Plus précisément, soit $t\mapsto \phi _{t}(x)$ la trajectoire du champ X issue de x. Ces trajectoires s'organisent une famille de transformations $x\mapsto \phi _{t}(x)$ (le flot de X), et pour tout domaine D on a

${\frac {d}{dt}}vol(\phi _{t}(D))=\int _{D}divX$

Ainsi, div X est une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première d'une forme volume (ici la forme volume naturelle de l'espace euclidien) le long des trajectoires dudit champ. C'est un opérateur différentiel linéaire défini sur les champs de vecteurs et à valeurs dans les fonctions.

Cet opérateur intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell.}}

Bonne année à tous et à toutes Jaclaf (d) 1 janvier 2013 à 11:19 (CET)

Propositions de modif

compte tenu de la longue discussion qui a eu lieu, je propose

a) de ré-écrire l'introduction

b) de se restreindre au cas de l'espace euclidien (en dim quelconque quand même, ça ne coûte pas plus cher.) et de donner quelques ex explicites simples (champ radial, champ de rotation, ...)

c) de faire migrer tout le reste (div par rapport à une forme volume quelconque, div en géométrie riemannienne, div d'un tenseur, vers un autre article Jaclaf (d) 1 janvier 2013 à 13:29 (CET)

100 % d'accord pour le c) ; sur le b) en revanche, une nuance : il me semble qu'une pléthore de sources sur ce sujet ne traitent que la dimension 3. Pour ma part un plan "divergence en dimension 3" "généralisation en dimension quelconque" me semblerait préférable à un traitement direct en dimension quelconque. Dit autrement, Théorème de flux-divergence (tiens je connaissais pas ce nom, je suis passé par le redirect en Green-Ostrogradski pour l'atteindre) me semble devoir être mis en avant dans le plan et peut-être même dans le résumé introductif. Touriste (d) 1 janvier 2013 à 13:40 (CET)

on peut toujours commencer par la dim 3. il se trouve que le passage de 3 à n ne change abslument rien

il n'y a RIEN à faire sauf changer 3 en n y compris pour Green-Osgtro d'ailleurs il y a dans l'article des ref sur la dimension n

La seule chose qui ne marche qu'en dim 3 (ce serait d'ailleurs à préciser dans l'artile) est la formule sur la div d'un produit vectoriel (et pour cause, le produit vectoriel étant spécifique à la dim 3 !Jaclaf (d) 1 janvier 2013 à 13:55 (CET)

Ben s'il faut écrire "3" dans un cas et "n" dans l'autre c'est qu'il y a quelque chose à changer :-). Il y a d'autres détails à changer quand même : la définition nécessite d'utiliser un symbole Sigma (ou des points de suspension), le nom "Green-Ostro" n'est plus applicable et peut-être d'autres trucs (dire "hypersurface" au lieu de "surface" par exemple). Je sais bien qu'il y a des sources en dimension quelconque et ne demande pas qu'on ne traite pas la dimension quelconque. Je suggère simplement de ne pas faire dans l'abstraction inappropriée à une partie du public : dire deux fois des choses presque identiques ce n'est pas un problème ("Wikipédia n'est pas du papier"). Je maintiens mon opinion. Touriste (d) 1 janvier 2013 à 14:01 (CET)

je n'ai pas l'impression d'avoir écrit qqch de fondamentalement différent ! Jaclaf (d) 1 janvier 2013 à 15:19 (CET)

ancien paragraphe div et forme volume

Étant donnée une forme volume $\Omega$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$, la divergence d'un champ de vecteurs $X$ est définie par la relation suivante

$\mathrm {d} \left[\iota (X)\Omega \right]=\left(\operatorname {div} X\right)\Omega \qquad (1)$.

Dans cette égalité, $\iota (X)\Omega$ désigne le produit intérieur de $\Omega$ par le champ $X$ ; c'est une $n-1$ forme différentielle. Sa dérivée extérieure $\mathrm {d} \left[\iota (X)\Omega \right]$ est une n-forme différentielle, et s'écrit donc sous la forme $-f\Omega$ où la fonction $f$ est appelée la divergence de $X$. Comme $\Omega$ est une forme différentielle fermée, l'égalité (1) se réécrit sous la forme

${\mathcal {L}}_{X}\Omega =\left(\operatorname {div} X\right)\Omega \qquad (2)$,

où ${\mathcal {L}}_{X}=\mathrm {d} \iota (X)+\iota (X)\mathrm {\mathrm {d} }$ est la dérivée de Lie dans la direction $X$. L'égalité (0) fournit l'expression de ${\text{div }}X$ en fonction des coordonnées de $X$, pour le volume de Lebesgue. Les définitions, ici exprimées sur des ouverts de $\mathbb {R} ^{n}$, s'étendent mot pour mot aux variétés différentielles.

Si le champ $X$ est intégrable, il définit un flot $\varphi _{t}$ (la trajectoire de $x$ étant $t\mapsto \varphi _{t}(x)$). L'égalité (2) donne

${\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|}_{t=0}\varphi _{t}^{*}\Omega =-\left(\operatorname {div} X\right)\Omega \qquad (3)$.

En particulier, le flot de $X$ conserve le volume (c’est-à-dire $\mathrm {vol} (\varphi _{t}(D))=\mathrm {vol} (D)$ pour tout domaine $D$ de $U$) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.

Toilettage

cet article comporte une intro qui est le résultat semble-t-il d'un long débat. L'interprétation heuristique se tient. Je propose dans ces conditions de supprimer le paragraphe (VIDE !) "interprétation intuitive" Lleuwen (discuter) 1 janvier 2017 à 18:17 (CET)

Pertinence de l'infobox grandeur physique dans cet article

Je suis très sceptique sur l'usage de l'infobox "grandeur physique" (dont il est pourtant bien connu que je ne suis pas un "ennemi" de cet outil...) pour la divergence... Non pas parce qu'il s'agirait d'un problème "plutôt de mathématiques" ou "plutôt de physique", mais précisément parce qu'il s'agit d'un opérateur, agissant sur une variété d'objets, certains étant des grandeurs physiques, d'autres non (cela dépend des applications...). A mon sens l'infobox "grandeur physique" doit plutôt être réservée à des grandeurs physiques bien déterminées (énergie, quantité de mouvement, intensité électrique, champ magnétique, etc.) plutôt qu'à ce qui est quand même un opérateur mathématique applicable à une grande variété de situations. Qui plus est, je n'arrive pas trouver de grandeur physique spécifique qui soit définie comme la divergence d'un vecteur donné... Pour le rotationnel je vois (par exemple, le champ magnétique ${\vec {B}}={\vec {rot}}{\vec {A}}$), pour le gradient aussi (le champ électrostatique ${\vec {E}}=-{\vec {grad}}V$)... mais pour la divergence... c'est plus quelque chose qui intervient dans les équations, comme celle de Maxwell $div{\vec {B}}=0$, ou l'équation locale de conservation de la charge ${\frac {\delta \rho }{\delta t}}+div{\vec {j}}=0$ ... mais ni $div{\vec {B}}$ ou $div{\vec {j}}$ ne sont des grandeurs physiques bien définies et nommées en tant que telles... De fait l'approche mathématique me semble à privilégier, et l'usage de l'infobox à proscrire, même si on peut sans doute garder la figure et sa légende. Il est toujours possible, dans les paragraphes consacrés aux applications et aux exemples en physique, de dire un mot sur les unités et dimensions. Sguerin (discuter) 23 mars 2017 à 19:26 (CET)

• • Tout à fait d'accord avec ces remarques Lleuwen (discuter) 24 mars 2017 à 22:40 (CET)

L'infobox "grandeur physique" est effectivement spécialisée sur les grandeurs physiques, et l'utiliser sur des opérateurs est quelque part a priori discutable, certes, mais me paraît légitime.

Formellement, la principale « raison » conduisant à cette assimilation est que lorsqu'un opérateur est utilisé en physique, il apporte de manière consistante et par lui-même une certaine dimensionnalité à l'équation aux dimensions de la grandeur à laquelle il est appliqué (quelle qu'elle soit). C'est surtout cette question de dimensionnalité (et la question annexe de sa grandeur d'orientation) qui me conduit à attribuer à la Divergence (analyse vectorielle) une "dimension" en L⁻¹ (et la dimensionnalité d'un produit scalaire), par rapport à tous les problèmes physiques auxquels elle peut s'appliquer : mon "trip" actuel de nettoyer et mettre au clair les grandeurs physiques suppose aussi de dire quelque chose de ces opérateurs, et le plus simple est de les mettre dans le même format. Et, jusqu'à présent, je n'ai pas rencontré de cas où le format soit une aberration évidente, voir les cas identifiés sur Catégorie:Opérateur physique.

L'utilisation est ici pragmatique, et je pense que la discussion doit prendre en compte tous les opérateurs possibles, pas uniquement la divergence (il serait surprenant que les opinions ne divergent que sur la divergence). L'infobox se prête bien à la description de ces opérateurs, et surtout, il n'affiche pas que l'entité décrite est une "grandeur physique". À la limite, s'il faut simplement dupliquer {{Infobox Grandeur physique}} pour en faire un clone {{Infobox Opérateur physique}}, pourquoi pas, mais quel intérêt ? Ou plus précisément, quelle devrait être la différence entre les deux ?

• « trouver de grandeur physique spécifique qui soit définie comme la divergence d'un vecteur donné » : je ne saisis pas l'argument. Et inversement, si "nabla fois" et "nabla vectoriel" sont traités avec infobox, pourquoi "nabla scalaire" ne le serait-il pas ?

Bonnes réflexions, Michelet-密是力 (discuter) 25 mars 2017 à 09:32 (CET)

Bon début vraiment?

Bonjour, j'utilisais souvent cet article il y a quelques années lorsque j'ai commencé mes études, mais je vous avoue qu'il me déçoit de plus en plus. On y parle du théorème de green ostrodraski sans même le mentionner dans le titre (au pire parler de théorème de flux divergence), on parle de g sans dire ce que c'est, idem pour i(X) et on ne dit absolument pas que ce théorème n'est pas tout le temps applicable. C'est choucard de vouloir mettre partout des notations de géométrie différentielle, mais si on en oublie l'essentiel, je ne vois pas trop l'intérêt.Klinfran (discuter) 6 septembre 2017 à 12:09 (CEST)