Forme différentielle fermée

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En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe C1 est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Forme différentielle de degré un.

En dimension n, une 1-forme

est fermée si

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

  • En dimension 1, une 1-forme dérivableest toujours fermée.
  • En dimension 2, une 1-formeest fermée si
  • En dimension 3, une 1-formeest fermée si   ;     ;   ce qui correspond à
    avec

Références[modifier | modifier le code]

  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
  • Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]