Théorème de la base normale

En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois.

Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière.

Histoire

Ce théorème fut d'abord établi dans le cas des corps finis^[1] : en 1850, Eisenstein démontra le cas où K est un corps premier fini^[2] et Schönemann celui où le degré de l'extension est premier^[3] ; c'est Hensel qui démontra le théorème pour les corps finis en toute généralité^[4]. En 1932, ce résultat fut étendu à certains corps infinis par Emmy Noether^[5], puis à tous par Deuring^[6].

La démonstration de Deuring traitait simultanément tous les corps (finis ou infinis) grâce à l'« argument de Deuring-Noether »^[1]^,^[7]. La plupart des manuels proposent cependant une démonstration ultérieure d'Artin^[8] dans le cas infini, formulée en termes de déterminants, et donnent un argument complètement différent pour le cas fini.

Ce théorème a été généralisé : il existe même un élément simultanément « libre » sur tous les corps intermédiaires (en qualifiant de « libres sur K » les éléments x dont le théorème de la base normale énonce l'existence)^[9] : Faith l'a prouvé en 1957 pour les corps infinis (en étendant l'argument d'Artin)^[10], mais ce n'est qu'en 1986 que ce résultat a été établi pour les corps finis, par Blessenohl et Johnsen^[11].

Démonstration

La preuve suivante, inspirée de Deuring, consiste à décomposer de deux façons le K[G]-module (à gauche) des endomorphismes du K-espace vectoriel L, puis à invoquer le théorème de Krull-Schmidt^[1]^,^[12]^,^[13].

Soient $n$ le degré de l'extension, $(x 1, \dots , x n)$ une base du K-espace vectoriel L et $(y 1, \dots , y n)$ une base de son dual. Une première décomposition est

\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}.

C'est non seulement une somme directe de K[G]-sous-modules mais aussi de L-sous-espaces vectoriels, donc End_K(L) est de dimension $n$ sur L. Or d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, les $n$ éléments de G sont L-linéairement indépendants. Ils forment donc eux aussi une base du L-espace vectoriel End_K(L) :

\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}Lg.

Contrairement aux L $y j$ , les L $g$ ne sont pas stables pour l'action à gauche de G, mais on a (en identifiant tout élément ℓ de L avec l'élément de End_K(L) « multiplication par ℓ ») :

\forall g\in G,\quad \forall \ell \in L,~g.\ell =g(\ell )g\quad {\text{donc}}\quad g.L=Lg,

ce qui permet de décomposer End_K(L) en K-sous-espaces vectoriels puis, en regroupant, en K[G]-sous-modules :

\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}g.L=\oplus _{g\in G}g.\left(\oplus _{i=1}^{n}Kx_{i}\right)=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}.

On aboutit ainsi à l'isomorphisme de K[G]-modules

L^{n}\simeq \oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}\simeq \left(K[G]\right)^{n},

dont on déduit, grâce au théorème de Krull-Schmidt, que L est isomorphe à K[G].

Notes et références

↑ ^{a b et c} (en) Dieter Blessenohl, « On the normal basis theorem », Note Mat., vol. 27, n^o 1,‎ 2007, p. 5-10 (lire en ligne)
↑ (de) G. Eisenstein, « Lehrsätze », J. reine angew. Math., vol. 39,‎ 1850, p. 180-182
↑ (de) T. Schönemann, « Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze », J. reine angew. Math., vol. 40,‎ 1850, p. 185-187
↑ (de) K. Hensel, « Über die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor », J. reine angew. Math., vol. 103,‎ 1888, p. 230-273
↑ (de) E. Noether, « Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung », J. reine angew. Math., vol. 167,‎ 1932, p. 147-152
↑ (de) M. Deuring, « Galoissche Theorie und Darstellungstheorie », Math. Ann., vol. 107,‎ 1932, p. 140-144 (lire en ligne)
↑ (en) Charles W. Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS, 1962, 689 p. (ISBN 978-0-8218-4066-5, lire en ligne), p. 200
↑ (en) E. Artin, « Linear Mappings and the Existence of a Normal Basis », dans Volume for Courant’s 60th birthday, Interscience Publ., 1948, p. 1-5
↑ (en) Dirk Hachenberger, « Completely Free Elements », dans S. Cohen et H. Niederreiter, Finite Fields and Applications, CUP, coll. « LMS Lecture Note Series » (n^o 233), 1996 (ISBN 978-0-521-56736-7, lire en ligne), p. 97-107
↑ (en) Carl C. Faith, « Extensions of normal bases and completely basic fields », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 85,‎ 1957, p. 406-427, lien Math Reviews
↑ (de) D. Blessenohl et K. Johnsen, « Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis », Journal of Algebra, vol. 103,‎ 1986, p. 141-159
↑ (en) Tsit-Yuen Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer, 2003, 364 p. (ISBN 978-0-387-00500-3, lire en ligne), p. 223-225
↑ (en) T. R. Berger et I. Reiner, « A Proof of the Normal Basis Theorem », Amer. Math. Month., vol. 82, n^o 9,‎ novembre 1975, p. 915-918

Articles connexes

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[Blessenohl-1] {a b et c} (en) Dieter Blessenohl, « On the normal basis theorem », Note Mat., vol. 27, n^o 1,‎ 2007, p. 5-10 (lire en ligne)

[2] (de) G. Eisenstein, « Lehrsätze », J. reine angew. Math., vol. 39,‎ 1850, p. 180-182

[3] (de) T. Schönemann, « Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze », J. reine angew. Math., vol. 40,‎ 1850, p. 185-187

[4] (de) K. Hensel, « Über die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor », J. reine angew. Math., vol. 103,‎ 1888, p. 230-273

[5] (de) E. Noether, « Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung », J. reine angew. Math., vol. 167,‎ 1932, p. 147-152

[6] (de) M. Deuring, « Galoissche Theorie und Darstellungstheorie », Math. Ann., vol. 107,‎ 1932, p. 140-144 (lire en ligne)

[7] (en) Charles W. Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS, 1962, 689 p. (ISBN 978-0-8218-4066-5, lire en ligne), p. 200

[8] (en) E. Artin, « Linear Mappings and the Existence of a Normal Basis », dans Volume for Courant’s 60th birthday, Interscience Publ., 1948, p. 1-5

[9] (en) Dirk Hachenberger, « Completely Free Elements », dans S. Cohen et H. Niederreiter, Finite Fields and Applications, CUP, coll. « LMS Lecture Note Series » (n^o 233), 1996 (ISBN 978-0-521-56736-7, lire en ligne), p. 97-107

[10] (en) Carl C. Faith, « Extensions of normal bases and completely basic fields », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 85,‎ 1957, p. 406-427, lien Math Reviews

[11] (de) D. Blessenohl et K. Johnsen, « Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis », Journal of Algebra, vol. 103,‎ 1986, p. 141-159

[Lam-12] (en) Tsit-Yuen Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer, 2003, 364 p. (ISBN 978-0-387-00500-3, lire en ligne), p. 223-225

[13] (en) T. R. Berger et I. Reiner, « A Proof of the Normal Basis Theorem », Amer. Math. Month., vol. 82, n^o 9,‎ novembre 1975, p. 915-918

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