Caractère (mathématiques)

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En mathématiques, un caractère est une notion associée à la théorie des groupes.

Un caractère sur un groupe G, est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif (ℂ*,•) du corps des nombres complexes.

Les caractères permettent une généralisation de l'analyse harmonique à de nombreux groupes.

Définitions[modifier | modifier le code]

Ici G désigne un groupe, ℂ le corps des nombres complexes et ℂ* son groupe des unités.

Un caractère de G est un morphisme de groupes de G dans ℂ*.

Ils correspondent à un cas particulier de représentations, celles complexe de dimension un.

Un exemple d'un tel caractère en mathématiques est le caractère de Dirichlet.

Le groupe dual de G est l'ensemble des caractères du groupe munis de la multiplication des fonctions.

Si le groupe G est topologique, alors un caractère est par définition continu, si G est un groupe de Lie, alors un caractère est différentiable.

La notion de caractère se généralise aux structures d'algèbres (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau).

Un caractère sur une algèbre est un morphisme d'algèbres (au sens de la structure d'espace vectoriel et de la structure multiplicative) de l'algèbre dans ℂ.

Dans le cas où l'algèbre est l'algèbre d'un groupe, alors les deux notions sont équivalentes.

Un caractère d'une représentation est une notion associée aux représentations d'un groupe, elle correspond à la trace de l'image d'un élément du groupe par la représentation.

Théorème d'indépendance de Dedekind[modifier | modifier le code]

Pour tout corps commutatif K, les caractères d'un groupe G à valeurs dans K* sont K-linéairement indépendants[1]. Il en est de même, plus généralement, pour les caractères d'un monoïde G, c'est-à-dire les morphismes de monoïdes de G dans (K, ×)[2].

En particulier[3] pour tous corps commutatifs k et K, les plongements de k dans K sont K-linéairement indépendants.

Groupe fini[modifier | modifier le code]

Structure du groupe dual[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Caractère d'un groupe fini.

Dans le cas d'un groupe fini, le groupe dual est aussi fini. Il s'identifie au caractères de l'algèbre du groupe complexe associé et forme une famille orthogonale incluse dans le centre de l'algèbre.

Si le groupe est de plus abélien, alors le groupe dual est isomorphe à G, les caractères forment alors une base orthonormale de l'algèbre.

Analyse harmonique sur un groupe abélien fini[modifier | modifier le code]

Dans le contexte d'un groupe abélien fini, la théorie de l'analyse harmonique est relativement simple à établir. La transformée de Fourier correspond à une somme finie et le groupe dual est isomorphe à G.

En conséquence, les résultats classiques comme l'égalité de Parseval, le théorème de Plancherel ou la formule sommatoire de Poisson s'appliquent.

Dualité de Pontryagin[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dualité de Pontryagin.

L'objectif de la théorie de la dualité de Pontryagin est la généralisation de l'analyse harmonique au cas où le groupe est abélien et localement compact.

Associée à la mesure de Haar introduite par John von Neumann, André Weil et d'autres, elle permet d'établir les principaux résultats associés à la transformée de Fourier.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Henri Cohen, Number Theory - Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer, coll. « GTM » (no 239),‎ 2007 (ISBN 9780387499222, lire en ligne), p. 117.
  2. (en) Ray Mines et Fred Richman, A Course in Constructive Algebra, Springer,‎ 1988 (lire en ligne), p. 172.
  3. Cohen 2007, p. 118.