Théorème de la base normale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois.

Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière.

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce théorème fut d'abord établi dans le cas des corps finis[1] : en 1850, Eisenstein démontra le cas où K est un corps premier fini[2] et Schönemann celui où le degré de l'extension est premier[3] ; c'est Hensel qui démontra le théorème pour les corps finis en toute généralité[4]. En 1932, ce résultat fut étendu à certains corps infinis par Emmy Noether[5], puis à tous par Deuring[6].

La démonstration de Deuring traitait simultanément tous les corps (finis ou infinis) grâce à l'« argument de Deuring-Noether »[1],[7]. La plupart des manuels proposent cependant une démonstration ultérieure d'Artin[8] dans le cas infini, formulée en termes de déterminants, et donnent un argument complètement différent pour le cas fini.

Ce théorème a été généralisé : il existe même un élément simultanément « libre » sur tous les corps intermédiaires (en qualifiant de « libres sur K » les éléments x dont le théorème de la base normale énonce l'existence)[9] : Faith l'a prouvé en 1957 pour les corps infinis (en étendant l'argument d'Artin)[10], mais ce n'est qu'en 1986 que ce résultat a été établi pour les corps finis, par Blessenohl et Johnsen[11].

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve suivante, inspirée de Deuring, consiste à décomposer de deux façons le K[G]-module (à gauche) des endomorphismes du K-espace vectoriel L, puis à invoquer le théorème de Krull-Schmidt[1],[12],[13].

Soient n le degré de l'extension, (x1, … , xn) une base du K-espace vectoriel L et (y1, … , yn) une base de son dual. Une première décomposition est

\mathrm{End}_K(L)=\oplus_{j=1}^nLy_j.

C'est non seulement une somme directe de K[G]-sous-modules mais aussi de L-sous-espaces vectoriels, donc EndK(L) est de dimension n sur L. Or d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, les n éléments de G sont L-linéairement indépendants. Ils forment donc eux aussi une base du L-espace vectoriel EndK(L) :

\mathrm{End}_K(L)=\oplus_{g\in G}Lg.

Contrairement aux Lyj, les Lg ne sont pas stables pour l'action à gauche de G, mais on a (en identifiant tout élément ℓ de L avec l'élément de EndK(L) « multiplication par ℓ ») :

\forall g\in G,\quad\forall\ell\in L,~g.\ell=g(\ell)g\quad\text{donc}\quad g.L=Lg,

ce qui permet de décomposer EndK(L) en K-sous-espaces vectoriels puis, en regroupant, en K[G]-sous-modules :

\mathrm{End}_K(L)=\oplus_{g\in G}g.L=\oplus_{g\in G}g.\left(\oplus_{i=1}^nKx_i\right)=\oplus_{i=1}^nK[G].x_i.

On aboutit ainsi à l'isomorphisme de K[G]-modules

L^n\simeq\oplus_{j=1}^nLy_j=\oplus_{i=1}^nK[G].x_i\simeq\left(K[G]\right)^n,

dont on déduit, grâce au théorème de Krull-Schmidt, que L est isomorphe à K[G].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c (en) Dieter Blessenohl, « On the normal basis theorem », Note Mat., vol. 27, no 1,‎ 2007, p. 5-10 (lire en ligne)
  2. (de) G. Eisenstein, « Lehrsätze », J. reine angew. Math., vol. 39,‎ 1850, p. 180-182
  3. (de) T. Schönemann, « Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze », J. reine angew. Math., vol. 40,‎ 1850, p. 185-187
  4. (de) K. Hensel, « Über die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor », J. reine angew. Math., vol. 103,‎ 1888, p. 230-273
  5. (de) E. Noether, « Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung », J. reine angew. Math., vol. 167,‎ 1932, p. 147-152
  6. (de) M. Deuring, « Galoissche Theorie und Darstellungstheorie », Math. Ann., vol. 107,‎ 1932, p. 140-144 (lire en ligne)
  7. (en) Charles W. Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS,‎ 1962 (ISBN 978-0-82184066-5, lire en ligne), p. 200
  8. (en) E. Artin, « Linear Mappings and the Existence of a Normal Basis », dans Volume for Courant’s 60th birthday, Interscience Publ.,‎ 1948, p. 1-5
  9. (en) Dirk Hachenberger, « Completely Free Elements », dans S. Cohen et H. Niederreiter, Finite Fields and Applications, CUP, coll. « LMS Lecture Note Series » (no 233),‎ 1996 (ISBN 978-0-521-56736-7, lire en ligne), p. 97-107
  10. (en) Carl C. Faith, « Extensions of normal bases and completely basic fields », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 85,‎ 1957, p. 406-427, lien Math Reviews
  11. (de) D. Blessenohl et K. Johnsen, « Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis », Journal of Algebra, vol. 103,‎ 1986, p. 141-159
  12. (en) Tsit-Yuen Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer,‎ 2003 (ISBN 978-0-38700500-3, lire en ligne), p. 223-225
  13. (en) T. R. Berger et I. Reiner, « A Proof of the Normal Basis Theorem », Amer. Math. Month., vol. 82, no 9,‎ novembre 1975, p. 915-918

Articles connexes[modifier | modifier le code]