Théorème de Cauchy (groupes)

En mathématiques, le théorème de Cauchy, nommé en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy, est le suivant :

Soit G un groupe fini d'ordre n. Pour tout diviseur premier p de n, il existe dans G au moins un élément d'ordre p.

La démonstration de McKay est détaillée sur Wikiversité.

Démonstration

On fait agir le groupe $\mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }$ par permutation circulaire sur l'ensemble

$E={\big \{}(x_{1},\dots ,x_{p})\in G^{p},\quad x_{1}\cdots x_{p}=e{\big \}}$

où e désigne l'élément neutre du groupe G. L'équation aux classes affirme que # E est la somme des cardinaux des orbites pour l'action de $\mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }$.

Or $\#E=(\#G)^{p-1}$ car étant donné $x_{1},\dots ,x_{p-1}$ quelconque $x_{p}$ est totalement déterminé (et vaut $x_{p-1}^{-1}\cdots x_{1}^{-1}$). Ainsi #E est un multiple de p. Le cardinal d'une orbite est égal à l'indice du stabilisateur d'un de ses éléments. Or le groupe $\mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }$ ayant pour cardinal un nombre premier, l'indice d'un stabilisateur vaut soit 1 soit p. L'équation aux classes permet alors de conclure que le nombre de stabilisateur d'indice 1 est un multiple de p. Or ce multiple n'est pas nul puisque le stabilisateur de $(e,\dots ,e)$ est lui-même d'indice 1. On en conclut qu'il existe au moins p-1 éléments de E dont le stabilisateur est d'indice 1 autrement dit qui sont invariants par permutation circulaire. Si $(x,\dots ,x)$ est un tel élément on aura $x^{p}=e$.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Lagrange sur les groupes
• Théorèmes de Sylow

Bibliographie

(en) M. Meo, « The mathematical life of Cauchy's group theorem », Historia Mathematica, vol. 31, n^o 2,‎ 2004, p. 196-221 (DOI 10.1016/S0315-0860(03)00003-X)

Liens externes

• (en) Keith Conrad, « Proof of Cauchy's theorem » (récurrence sur l'ordre du groupe)
• (en) Keith Conrad, « Consequences of Cauchy's theorem »