Suite géométrique

Exemples

2 ; 16 ; 128 ; 1024 ; 8192 ; … Suite géométrique croissante, de premier terme 2 de raison 8 2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; … Suite géométrique décroissante, de premier terme 2 de raison 0,5

En mathématiques, une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un coefficient constant appelé raison. Ainsi, une suite géométrique a la forme suivante :

$a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \ldots$

La définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, c'est-à-dire que pour chaque entier naturel $n$ :

$u_{n+1}=q\times u_{n}\ ;\ \ u_{0}=a$.

Cette relation est caractéristique de la progression géométrique qui se retrouve par exemple dans l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés ou la composition des intervalles musicaux. Elle permet aussi de modéliser une croissance exponentielle (dans laquelle la variation est proportionnelle à la quantité) par un processus en temps discret.

Les suites géométriques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée. Elles peuvent aussi servir à calculer des solutions particulières pour les relations de récurrence linéaires.

Premières étapes de la construction du triangle de Sierpiński. Le nombre de triangles noirs, leur côté, leur aire individuelle et l'aire du domaine couvert suivent des progressions géométriques de raisons respectives 3, 1/2, 1/4 et 3/4.

Champ d'applications

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle, ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).

Exemple : Le carbone 14 ¹⁴C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 ans près). Cela signifie que, en cas de fermeture d'un système (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié tous les 5730 ans.

Si N est la quantité de ¹⁴C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 noyaux de ¹⁴C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 noyaux. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 noyaux. Si on appelle $N_{n}$ la quantité de noyaux ¹⁴C au bout de n périodes, la suite ($N_{n}$ ) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple : Un capital $C_{0}$ placé à 5 % rapporte au bout d'un an $0,05\times C_{0}$ d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital $C_{1}=1,05\times C_{0}$. En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1,05 car $C_{n+1}=1,05\times C_{n}$.

On la retrouve enfin, en musicologie. En partant d'une certaine fréquence initiale, la suite des octaves correspond à une progression géométrique de raison 2 (en allant vers l'aigu), la suite des quintes pures (celles de l'accord pythagoricien) à une progression géométrique de raison 3/2, la suite des demi-tons de la gamme tempérée à une progression géométrique de raison la racine douzième de 2. La gamme tempérée n'utilise que douze quintes pures, (3/2)¹² ≈ 129,746, qui valent « presque » 7 octaves, 2⁷ = 128, c'est-à-dire que deux suites géométriques de même valeur initiale, l'une de raison 3/2 l'autre de raison 2, qui ne peuvent coïncider de façon précise en aucun point, coïncident de façon approchée pour ces valeurs.

Elle est l'équivalent discret d'une fonction exponentielle.

Terme général

Si K est un corps commutatif – par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes) – et si $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite géométrique de K de raison q ∈ K alors, pour tout entier naturel n :

$u_{n}=u_{0}q^{n}$

(y compris si q et n sont nuls, avec la convention 0⁰ = 1).

Plus généralement, si la suite est définie sur $\{n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\}$ et si n ≥ p ≥ n₀, alors :

$u_{n}=u_{p}q^{n-p}.$

Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u_{n_{0}}$ et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur $\{n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\}$ par

$u_{n}=u_{n_{0}}q^{n-n_{0}}$

est une suite géométrique de raison q.

Sens de variation et convergence

On supposera $u_{n_{0}}$ et q non nuls.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans ℝ.

• si $q<0\,$ la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs. Elle est dite alternée.
• si $q\in ]0;1[$
  • si $u_{n_{0}}>0$ la suite est décroissante positive
  • si $u_{n_{0}}<0$ la suite est croissante négative
• si $q\in ]1;+\infty [$
  • si $u_{n_{0}}>0$ la suite est croissante positive
  • si $u_{n_{0}}<0$ la suite est décroissante négative
• si $q=1\,$ la suite est constante.

Convergence

Dans ℝ

• si $q<-1\,$, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans ℝ, les valeurs d'adhérence sont +∞ et –∞.
• si $q=-1\,$, la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence : $u_{n_{0}}$ et $-u_{n_{0}}$
• si $|q|<1\,$, la suite converge vers 0
• si $q=1\,$, la suite est constante et converge vers $u_{n_{0}}$
• si $q>1\,$, la suite est divergente mais possède une limite égale à
  • $+\infty$ pour $u_{n_{0}}>0$
  • $-\infty$ pour $u_{n_{0}}<0$

Dans ℂ

• si $\left|q\right|<1$, la suite converge vers 0.
• si $\left|q\right|>1$, la suite est divergente.
• si $q=1\$, la suite est constante et converge vers $u_{n_{0}}$.
• si $q\neq 1$ et $\left|q\right|=1$, la suite diverge.

Croissance comparée

On considère ici des suites à valeurs dans ℝ.

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif, $(1+t)^{n}\geq 1+nt$. Cette inégalité permet d'affirmer qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison a×t. Cependant, en pratique, pour de petites valeurs de t et des valeurs raisonnables de n, les deux suites sont quasiment confondues. Cette approximation se justifie mathématiquement par le développement limité à l'ordre 1 lorsque t tend vers 0 : $(1+t)^{n}=1+nt+o(t)$ qui fournit l'approximation : $~(1+t)^{n}\approx 1+nt$.

Illustration avec a = 1 000 et t = 0,004, soit une raison a×t = 4 :

n	suite arithmétique	suite géométrique
0	1 000	1 000
1	1 004	1 004
2	1 008	1 008,016
3	1 012	1 012,048
4	1 016	1 016,096
5	1 020	1 020,161
6	1 024	1 024,241
7	1 028	1 028,338
8	1 032	1 032,452
9	1 036	1 036,581
10	1 040	1 040,728
11	1 044	1 044,891
12	1 048	1 049,070

Cette approximation permet aux financiers d'utiliser comme taux d'intérêt mensuel le 12^e du taux annuel t, au lieu de prendre la valeur exacte ${\sqrt[{12}]{1+t}}-1$ ; elle est d'autant meilleure que le taux est faible.

Somme des termes

La somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique (u_k)_{k ∈ ℕ} de raison q ≠ 1 vérifie : $\sum _{k=0}^{n}u_{k}=u_{0}+\cdots +u_{n}=u_{0}(1+q+\cdots +q^{n})=u_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\ \ (q\neq 1)$ (voir l'article Série géométrique, section Terme général pour des démonstrations).

Quand q = 1, la suite est constante et u₀ + … + u_n = (n+1)u₀.

La formule se généralise à partir d'un rang m quelconque, la suite (u_m+k)_{k ∈ ℕ} étant également géométrique. Plus généralement si la suite (u_k) suit une progression géométrique entre m et n, qui est donc de longueur n - m + 1, on a la formule suivante quand la raison q est différente de 1 :

$\sum _{k=m}^{n}u_{k}=u_{m}~{\frac {1-q^{n-m+1}}{1-q}}={\text{premier terme}}\times {\dfrac {1-{\text{raison}}^{\text{nombre de termes}}}{1-{\text{raison}}}}.$

La valeur de la somme des termes d'une progression géométrique est démontrée dans le Livre IX des Éléments d'Euclide, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers plus grands que 1 (mais par une méthode générale). La proposition énonce que, dans une progression géométrique, les différences entre le premier et le second terme d'une part et le premier et le dernier terme d'autre part sont proportionnelles respectivement au premier terme et à la somme de tous les termes qui précèdent le dernier. Soit en langage algébrique ${\frac {u_{0}}{u_{1}-u_{0}}}={\frac {u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n-1}}{u_{n}-u_{0}}}$

Voir aussi

• Convergence géométrique (ou q-linéaire)
• Série géométrique
• Suite arithmético-géométrique
• Suite arithmétique