Rosace (mathématiques)

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Courbe définie par r = cos , pour différentes valeurs de k = n/d.
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En mathématiques, une rosace, ou rhodonea est une courbe plane obtenue en traçant une sinusoïde en coordonnées polaires.

Généralités[modifier | modifier le code]

À une similitude près, ces courbes sont définies par une équation polaire de la forme :

\!\,r=\cos(k\theta)

ou sous forme paramétrique par les fonctions :

\!\,x=\cos(kt)\sin(t)
\!\,y=\cos(kt)\cos(t)

k étant un nombre réel :

  • si k est rationnel, alors la courbe est fermée et de longueur finie ;
  • si k est irrationnel, alors la courbe n'est pas fermée et sa longueur est infinie.

La rosace aura :

  • k pétales si k est un entier impair, car la courbe est entièrement tracée quand θ varie de 0 à π (quand θ varie de π à 2π, la courbe repasse par les points déjà tracés) ;
  • 2k pétales si k est un entier pair, car la courbe est tracée exactement une fois quand θ varie de 0 à 2π.
  • 4k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 2 (exemples : 1/2, 5/2) ;
  • 12k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 6 et supérieure à 1 (exemples : 7/6, 17/6).

Si k est une fraction irréductible de dénominateur 3 et supérieure à 1, la rosace aura :

  • 3k pétales si son dénominateur est impair (exemples : 5/3 et 7/3) ;
  • 6k pétales si son dénominateur est pair (exemples : 4/3 et 8/3).

Le terme rhodonea a été choisi par le mathématicien italien Luigi Guido Grandi entre 1723 et 1728[1].

Aire[modifier | modifier le code]

Une rosace dont l'équation polaire est de la forme

r=a \cos (k\theta)

k est un entier positif, a une aire égale à

\frac12\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,{\rm d}\theta=\frac{a^2}2\left(\pi+\frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right)=\frac{\pi a^2}2

si k est pair et

\frac12\int_0^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,{\rm d}\theta = \frac {a^2}2\left(\frac{\pi}2+\frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right)=\frac{\pi a^2}4

si k est impair.

Le même principe s'applique aux rosaces d'équation polaire de la forme :

r=a \sin (k\theta)

puisque leurs graphes ne sont que des images par rotation des rosaces définies en utilisant le cosinus.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rose (mathematics) » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Rhodonea Curves », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Rose », MathWorld