Courbe de Lissajous

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Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope

Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

 x( \theta )=a\sin(\theta)\,
 y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,
 0\le \phi \le \frac {\pi}{2} et n\ge 1\,

n\, est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme n=\frac{p}{q}\, et l'équation paramétrique de la courbe devient :

 x( \theta )=a\sin(p\theta)\,
 y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,
 0\le \theta \le 2\pi
 0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [-a,a]x[-b,b].
  • Si n est rationnel,
    • la courbe est une courbe algébrique (unicursale) de degré 2q si \phi \in \bigl]0,\tfrac{\pi}{2p} \bigr] pour p impair ou \phi \in \bigl[0,\tfrac{\pi}{2p} \bigr[ pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si \phi=0\, pour p impair ou \phi=\tfrac{\pi}{2p} pour p pair.
  • Si n est un entier pair et  \phi = \tfrac{\pi}{2} , ou si n est un entier impair et  \phi =0\,, la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev Tn.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • si n=1, la courbe est une ellipse.
    • si a=b et \phi=\frac{\pi}{2}, cette ellipse est un cercle
    • si \phi=0\, ou pi , cette ellipse est un segment de droite
  • si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace

Voici quelques exemples de tracés avec \phi=\frac{\pi}{2}, p impair, q pair, |pq| = 1.

Applications[modifier | modifier le code]

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Sur un oscilloscope analogique, le mode XY permet notamment de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.

Les télescopes spatiaux qui orbitent autour des points de Lagrange, comme notamment le télescope Herschel placé au point L2, décrivent une orbite de Lissajous.

Liens externes[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

  • (en) Julio Castiñeira Merino: « Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials », in: The college mathematics Journal [The mathematical association of America], voL 32, n° 2, March 2003, p.  122-127, Texte intégral.