Courbe de Lissajous

Pour les articles homonymes, voir Lissajous (homonymie).

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition mathématique

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope

Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

$x( \theta )=a\sin(\theta)\,$ $y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,$

où $0\le \phi \le \frac {\pi}{2}$ et $n\ge 1\,$

$n\,$ est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme $n=\frac{p}{q}\,$ et l'équation paramétrique de la courbe devient :

$x( \theta )=a\sin(p\theta)\,$ $y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,$ $0\le \theta \le 2\pi$

où $0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}$

Propriétés

• Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [-a,a]x[-b,b].
• Si n est rationnel,
  • la courbe est une courbe algébrique de degré 2q si $\phi \in \bigl]0,\tfrac{\pi}{2p} \bigr]$ pour p impair ou $\phi \in \bigl[0,\tfrac{\pi}{2p} \bigr[$ pour p pair.
  • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si $\phi=0\,$ pour p impair ou $\phi=\tfrac{\pi}{2p}$ pour p pair.

• Si n est un entier pair et $\phi = \tfrac{\pi}{2}$, ou si n est un entier impair et $\phi =0\,$, la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev T_n.

Cas particuliers

• si a=b et n=1, la courbe est une ellipse.
  • si $\phi=\frac{\pi}{2}$, cette ellipse est un cercle
  • si $\phi=0\,$, cette ellipse est un segment de droite
• si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace
  • si $\phi=\frac{\pi}{2}$, cette besace est une portion de parabole
  • si $\phi=0\,$, cette besace est une lemniscate de Gerono

Voici quelques exemples de tracés avec φ = 0, p impair, q pair, |p − q| = 1.

• 

  p = 1, q = 2 (1:2)

• 

  p = 3, q = 2 (3:2)

• 

  p = 3, q = 4 (3:4)

• 

  p = 5, q = 4 (5:4)

• 

  p = 5, q = 6 (5:6)

• 

  p = 9, q = 8 (9:8)

Applications

Sur un oscilloscope analogique, le mode XY permet notamment de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.

Les télescopes spatiaux qui orbitent autour des points de Lagrange, comme notamment le Herschel Space Observatory placé au point L2, décrivent une figure de Lissajous.

Voir aussi

Articles connexes

• Courbe
• Orbite de Lissajous

Liens externes

• (en) Lissajous sur site MathCurve.com