Théorie du contrôle

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En mathématiques et en ingénierie, la théorie du contrôle a comme objet l'étude du comportement de systèmes dynamiques paramétrés en fonction des trajectoires de leurs paramètres.

Le cadre formel[modifier | modifier le code]

On se place dans un ensemble, l'espace d'état \mathcal{X} sur lequel on définit une dynamique[Quoi ?]. Le déroulement du temps est modélisé par un entier k\in\mathbb{Z}. La dynamique de l'état du système (x_k)_{k\in\mathbb{Z}} ne dépend que de l'état du système à l'état précédent et de la valeur d'un paramètre a priori exogène (le paramètre de contrôle) noté u et qui prend ses valeurs dans un ensemble \mathcal{U}.

La dynamique du système est alors totalement définie par une fonction f:\mathcal{X}\times\mathcal{U}\times\mathbb{Z}\mapsto\mathcal{X} et un point de départ \xi\in\mathcal{X} ; elle s'écrit:

(D1)\;\; x_{k+1} = f(x_k, u_k, k),\; x_0 = \xi,\; u_k \in \mathcal{U}

La question principale de la théorie du contrôle est: quel est le comportement de x en fonction de celui de u?, par exemple peut-on choisir une suite de contrôles u_1,u_2,\ldots,u_N de telle sorte que x_N vaille x^*, une valeur cible choisie par ailleurs?.

Le système (D1) qui est discret (le temps ne prend que des valeurs entières) a un équivalent continu (le temps s'écoule continuement), que l'on peut écrire:

(D2)\;\; \dot x_t = g(x_t, u_t, t),\; x_0 = \xi,\; u_t \in \mathcal{U}

Dans ce contexte \dot x_t est la dérivée temporelle de x, il est donc nécessaire de munir \mathcal{X} d'une structure donnant accès à la dérivation (par exemple une structure d'espace vectoriel normé).

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

  • la conduite d'une voiture est un système dynamique contrôlé: le contrôle est l'angle du volant, les pressions exercée sur le frein et sur l'accélérateur, et l'état est la position de la voiture sur la route.
  • le jeu de tennis est un système dynamique contrôlé: le contrôle est ma position sur le court ainsi que la position et le mouvement de ma raquette, et l'état est la position de la balle.
  • le pilotage d'une torpille est aussi un système dynamique contrôlé: le contrôle est la position de ses aillettes, et l'état la position de la torpille.

Ces exemples montrent que l'objectif du contrôle est qualitativement assez naturel. Par exemple pour une voiture, il s'agit de rester sur la route ou de gagner une course, pour le tennis de renvoyer la balle sur le court, et pour la torpille de couler un navire qui se déplace.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]