Méthode Schulze

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La méthode de Schulze est un système de vote développé en 1997 par Markus Schulze qui choisit un gagnant simple dans un vote avec classement des candidats. La méthode peut également être employée pour créer une liste ordonnée de gagnants.

Si un candidat gagne tous ses duels lors des confrontations par paires avec les autres candidats (gagnant de Condorcet), la méthode de Schulze garantit que ce candidat gagnera. En raison de cette propriété, la méthode de Schulze est (par définition) une méthode de Condorcet. Cette propriété ne se rencontre pas toujours dans les votes à classement ou pondération. Les méthodes Borda et Vote alternatif de Ware, par exemple, peuvent choisir un autre gagnant que le gagnant de Condorcet.

Beaucoup d'heuristiques de la méthode de Schulze ont été proposées. Les heuristiques les plus importantes sont l'heuristique du chemin gagnant et l'heuristique de l'ensemble de Schwartz. Malgré leur aspect très différent, elles donnent toutes le même résultat.

La méthode de Schulze permet de résoudre la plupart des conflits générés par le paradoxe de Condorcet mais ne garantit pas un unique gagnant. Elle est utilisée entre autres dans le projet Debian.

L'heuristique du chemin gagnant[modifier | modifier le code]

Chaque bulletin comporte la liste complète de tous les candidats. Chaque électeur classe les candidats dans l'ordre de ses préférences. Un électeur peut, dans ses préférences, mettre à égalité plusieurs candidats. Il peut même présenter une liste incomplète. Les candidats non listés seront considérés comme placés après les autres et selon un même degré de préférence.

On note d[V,W] le nombre de votants qui préfèrent strictement le candidat V au candidat W.

Chemin de force[modifier | modifier le code]

On appelle chemin de force z du candidat X au candidat Y, une liste ordonnée de candidats C(1), ..., C(n) vérifiant les conditions suivantes :

  • C(1) correspond à X
  • C(n) correspond à Y
  • i \in \lbrace 1 ... (n-1) \rbrace d[C(i), C(i+1)] > d[C(i+1), C(i)]
  • i \in \lbrace 1 ... (n-1) \rbrace d[C(i),C(i+1)] \geqslant z

z est la force du chemin.

Force du chemin[modifier | modifier le code]

On appelle force du chemin la plus petite valeur des différents d[C(i),C(i+1)] le long du chemin. La force du chemin est donc égale à celle de son maillon le plus faible.


On note p[A,B] la force du plus fort chemin du candidat A vers le candidat B.

p[A,B] : = max { min { d[C(i),C(i+1)] | i = 1,...,(n-1) } | C(1),...,C(n) est un chemin de A vers B }

S'il n'existe pas de chemin de A vers B alors

p[A,B] : = 0


Si p[A,B] > p[B,A] on dit que le candidat A est meilleur que le candidat B.


Dans le méthode de Schulze on dit qu'un candidat D est un vainqueur potentiel si et seulement s'il n'existe pas de candidat E qui soit meilleur que lui.


Exemple 1[modifier | modifier le code]

Exemple (45 votants; 5 candidats):

5 ACBED (c'est-à-dire, cinq votants ont choisi l'ordre de préférence A > C > B > E > D)
5 ADECB
8 BEDAC
3 CABED
7 CAEBD
2 CBADE
7 DCEBA
8 EBADC

On effectue les confrontations par paires (méthode Condorcet)

  d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[*,E]
d[A,*]   20 26 30 22
d[B,*] 25   16 33 18
d[C,*] 19 29   17 24
d[D,*] 15 12 28   14
d[E,*] 23 27 21 31  
Matrice des duels entre candidats

On détermine les chemins de plus grande force. Le maillon faible est souligné

  ... vers A ... vers B ... vers C ... vers D ... vers E
de A ...
Schulze method example1 AB.svg
A-(30)-D-(28)-C-(29)-B
Schulze method example1 AC.svg
A-(30)-D-(28)-C
Schulze method example1 AD.svg
A-(30)-D
Schulze method example1 AE.svg
A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
de B ...
Schulze method example1 BA.svg
B-(25)-A
Schulze method example1 BC.svg
B-(33)-D-(28)-C
Schulze method example1 BD.svg
B-(33)-D
Schulze method example1 BE.svg
B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
de C ...
Schulze method example1 CA.svg
C-(29)-B-(25)-A
Schulze method example1 CB.svg
C-(29)-B
Schulze method example1 CD.svg
C-(29)-B-(33)-D
Schulze method example1 CE.svg
C-(24)-E
de D ...
Schulze method example1 DA.svg
D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
Schulze method example1 DB.svg
D-(28)-C-(29)-B
Schulze method example1 DC.svg
D-(28)-C
Schulze method example1 DE.svg
D-(28)-C-(24)-E
de E ...
Schulze method example1 EA.svg
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
Schulze method example1 EB.svg
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B
Schulze method example1 EC.svg
E-(31)-D-(28)-C
Schulze method example1 ED.svg
E-(31)-D
Chemins les plus forts

La synthèse des résultats est alors :

  p[*,A] p[*,B] p[*,C] p[*,D] p[*,E]
p[A,*]   28 28 30 24
p[B,*] 25   28 33 24
p[C,*] 25 29   29 24
p[D,*] 25 28 28   24
p[E,*] 25 28 28 31  
Les plus grandes forces

Le candidat E est un gagnant potentiel car p[E,X] ≥ p[X,E] pour tout autre candidat X

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Exemple (9 votants; 4 candidats):

3 ABCD
2 DABC
2 DBCA
2 CBDA

On effectue les confrontations par paires

  d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D]
d[A,*]   5 5 3
d[B,*] 4   7 5
d[C,*] 4 2   5
d[D,*] 6 4 4  
Matrice des duels entre candidats

On détermine les chemins de plus grande force. Le maillon faible est souligné .

... vers A ... vers B ... vers C ... vers D
de A ...
Schulze method example4 AB.svg
A-(5)-B
Schulze method example4 AC.svg
A-(5)-C
Schulze method example4 AD.svg
A-(5)-B-(5)-D
de B ...
Schulze method example4 BA.svg
B-(5)-D-(6)-A
Schulze method example4 BC.svg
B-(7)-C
Schulze method example4 BD.svg
B-(5)-D
de C ...
Schulze method example4 CA.svg
C-(5)-D-(6)-A
Schulze method example4 CB.svg
C-(5)-D-(6)-A-(5)-B
Schulze method example4 CD.svg
C-(5)-D
de D ...
Schulze method example4 DA.svg
D-(6)-A
Schulze method example4 DB.svg
D-(6)-A-(5)-B
Schulze method example4 DC.svg
D-(6)-A-(5)-C
Chemins les plus forts

La synthèse des résultats est alors :

  p[*,A] p[*,B] p[*,C] p[*,D]
p[A,*]   5 5 5
p[B,*] 5   7 5
p[C,*] 5 5   5
p[D,*] 6 5 5  
Les plus grandes forces

Les candidats B et D sont des gagnants potentiels car p[B,X] ≥ p[X,B] pour tout autre candidat X et p[D,Y] ≥ p[Y,D] pour tout autre candidat Y

L'heuristique de l'ensemble de Schwartz[modifier | modifier le code]

L'ensemble de Schwartz[modifier | modifier le code]

L'ensemble de Schwartz[1] est constitué de la manière suivante :

  • Un groupe de tête est un groupe de candidats qui n'ont perdu aucune confrontation avec des candidats qui ne sont pas dans le groupe de tête ;
  • Un groupe de tête minimal est un groupe de tête qui ne contient pas de groupe de tête plus petit ;
  • L'ensemble de Schwartz est constitué de tous les candidats appartenant à au moins un groupe de tête minimal.

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

Les électeurs remplissent leur bulletin en plaçant les différents candidats dans l'ordre de leur préférence comme dans toute méthode Condorcet.

Les confrontations par paires sont alors organisées. On établit alors un graphe orienté pondéré : les sommets sont les candidats. Si le candidat X confronté au candidat Y gagne n confrontations et en perd p et si n > p, on crée un arc de X vers Y pondéré par n - p.

La méthode de Schulze consiste alors à :

  1. éliminer du graphe les sommets qui n'appartiennent pas à son ensemble de Schwartz (les arcs ayant pour origine ou extrémité un sommet supprimé sont supprimés également) ;
  2. si le graphe obtenu ne comporte plus aucun arc, alors les candidats correspondant aux sommets de ce graphe sont déclarés vainqueurs ex æquo (il y a un vainqueur unique s'il ne reste qu'un sommet) et la méthode est terminée ;
  3. sinon, supprimer du graphe le ou les arc(s) dont la pondération est minimale (c'est-à-dire le ou les arc(s) correspondant à la défaite la plus courte) puis retourner à l'étape 1.

Exemple[modifier | modifier le code]

Reprise de l'exemple 1 de l'heuristique du chemin : (45 votants; 5 candidats):

5 ACBED
5 ADECB
8 BEDAC
3 CABED
7 CAEBD
2 CBADE
7 DCEBA
8 EBADC

On effectue les confrontations par paires (méthode Condorcet)

  d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[*,E]
d[A,*]   20 26 30 22
d[B,*] 25   16 33 18
d[C,*] 19 29   17 24
d[D,*] 15 12 28   14
d[E,*] 23 27 21 31  
Matrice des duels entre candidats

On constitue le graphe orienté des duels :

Schulze1.png

L'ensemble de Schwartz est constitué de l'ensemble tout entier {A, B, C, D, E}

On élimine la plus petite défaite/victoire de E vers A

Schulze2.png

L'ensemble de Schwartz est encore constitué de l'ensemble tout entier {A, B, C, D, E}

On élimine la plus petite défaite/victoire de C vers E

Schulze3.png

L'ensemble de Schwartz est alors constitué du singleton { E} . Le candidat E est alors le gagnant des élections.

Nota : Un rangement par paires décroissantes aurait conduit à l'élection de A, tandis que la méthode Black aurait également conduit à l'élection de E.

Critères satisfaits et non satisfaits[modifier | modifier le code]

Critères satisfaits[modifier | modifier le code]

à traduire par des spécialistes des critères

Critères non satisfaits[modifier | modifier le code]

à traduire par des spécialistes des critères

Adoptions et utilisations[modifier | modifier le code]

La méthode de Schulze n'est pas encore employée dans des élections gouvernementales. Toutefois, elle a déjà été utilisée pour les primaires aux élections parlementaires par le Parti pirate (Suède). Par ailleurs, certaines organisations l'ont adoptée pour leurs besoins électoraux depuis de nombreuses années. Quelques organisations utilisatrices de la méthode de Schulze :

ainsi que dans de nombreuses associations anglophones...

Programmes de dépouillement[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]