Règles de Bioche

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, les règles de Bioche sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques.


Les règles et leur justification[modifier | modifier le code]

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, f(t) est une expression rationnelle en \sin(t) et \cos(t), c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de \sin(t), \cos(t), des nombres réels et les quatre opérations +, -, \times, / ; on peut encore écrire f(t)=\frac{P(\sin t, \cos t)}{Q(\sin t, \cos t)}, où P et Q sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer

\int f(t)\mathrm{d}t,

on forme l'intégrande : \omega(t) = f(t)\mathrm{d}t. Ensuite,

  • Si \omega(-t)=\omega(t), un changement de variable judicieux est u(t)=\cos(t).
  • Si \omega(\pi-t)=\omega(t), un changement de variable judicieux est u(t)=\sin(t).
  • Si \omega(\pi+t)=\omega(t), un changement de variable judicieux est u(t)=\tan(t).
  • Si deux des trois relations précédentes sont vraies (dans ce cas les trois relations sont vraies), un changement de variable judicieux est u(t)=\cos(2t).
  • Dans les autres cas, le changement de variable u(t)=\tan(t/2) s'avère souvent judicieux. On se réferera à ce sujet à l'article sur les formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié

D'un point de vue mnémotechnique, ces règles sont peut-être plus simples à retenir sous cette forme, mais on les trouve souvent exposées plutôt par rapport à f, ce qui donne respectivement pour les deux premières (en tenant compte du fait que d(–t) = d(π–t) = –dt) : «  si f est impaire, utiliser x = cos t » et « si f est telle que f(π – t) = –f(t), utiliser x = sin t ».

Ces règles peuvent en fait être énoncées comme un théorème : on démontre que le changement de variable proposé conduit (si la règle s'applique et si f est bien de la forme f(t)=\frac{P(\sin t, \cos t)}{Q(\sin t, \cos t)}) à l'intégration d'une fraction rationnelle en t, qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.

Exemples d’utilisation[modifier | modifier le code]

  • Soit l'intégrale \int \frac{\sin(t)}{1+\cos^2(t)}{\rm d}t.
\omega(-t) = \frac{\sin (-t)}{1+\cos^2 (-t)}{\rm d}(-t)=\frac{-\sin(t)}{1+\cos^2 (t)}(-{\rm d}t) = \frac{\sin(t)}{1+\cos^2(t)}{\rm d}t = \omega(t)

Ceci car {\rm d}(-t)=-{\rm d}t et \sin est impaire et \cos paire.

Alors d'après la règle de Bioche, le meilleur changement de variable est u=\cos (t).

  • Soit l'intégrale \int \frac{1}{\cos^2(t)(1+\tan(t))}{\rm d}t.
\omega(\pi+t) = \frac{1}{(\cos^2 (\pi+t))(1+\tan(\pi+t))}{\rm d}(\pi+t)=\frac{1}{(\cos^2 (t))(1+\tan(t))}{\rm d}t = \omega(t)

Ceci car {\rm d}(\pi+t)={\rm d}t et \cos (\pi+t)=-\cos (t) et \tan(\pi+t)=\tan (t).

Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est u=\tan (t).

Une fois le changement de variable effectué, ces deux intégrales peuvent être calculées plus facilement car elles comportent des fonctions que l'on sait intégrer.

  • Soit l'intégrale \int\frac1{1+\cos(t)}{\rm d}t. Aucune des trois règles de Bioche ne s'applique. Dans cette situation on peut utiliser, comme indiqué ci-dessus, le changement de variable u = tan(t/2), qui donne ici
\int \frac{1}{1+\cos(t)}{\rm d}t=\int \frac{1+u^2}2\frac{2\mathrm du}{1+u^2}=u+ C = \tan(t/2) + C.

Cas des polynômes[modifier | modifier le code]

Pour calculer l'intégrale \int \sin(t)^p\cos(t)^q  dt, la règle de Bioche s'applique également.

  • Si p et q sont impairs, on emploie u=\cos 2t ;
  • Si p est impair et q pair, on emploie u=\cos t ;
  • Si p est pair et q impair, on emploie u=\sin t ;
  • Sinon, on en est réduit à linéariser.

Autre version : fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Soit à calculer

\int{g(\cosh(t), \sinh(t))\,\mathrm{d}t}.

Si les règles de Bioche suggèrent de calculer

\int{g(\cos(t), \sin(t))\,\mathrm{d}t}

par u=\cos(t) (resp. \sin(t), \tan(t), \cos(2t), \tan(t/2)) un changement de variable judicieux pour la première intégrale est u=\cosh(t) (resp. \sinh(t), \tanh(t), \cosh(2t), \tanh(t/2)). Dans tous les cas, le changement de variable u=e^{t} permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas (u=\tanh(t/2)).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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