Groupe de Klein
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En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non trivial qui ne soit pas cyclique.
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Définition [modifier]
Il a quatre éléments, et tous sauf l'élément neutre ont un ordre égal à 2.
Propriétés [modifier]
- C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même.
- Il est aussi isomorphe au groupe diédral D2={e,c,b,bc} d'ordre 4.
- Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe).
- Si on note V = { 0, e, f, g } le groupe de Klein avec une loi additive « + » , alors cette loi présente la table d'opération suivante :
| + | 0 | e | f | g |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | e | f | g |
| e | e | 0 | g | f |
| f | f | g | 0 | e |
| g | g | f | e | 0 |
- On constate que la loi du groupe de Klein est involutive : ∀ x ∈ V, x + x = 0
- Le groupe de Klein peut être muni d'une structure de corps, le corps fini à quatre éléments, par l'ajout d'une seconde loi multiplicative, d'élément nul 0, d'élément neutre e, distributive par rapport à la loi additive et dont la table est :
| x | 0 | e | f | g |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| e | 0 | e | f | g |
| f | 0 | f | g | e |
| g | 0 | g | e | f |
- On peut enfin considérer le groupe de Klein en termes de groupe d'automorphismes de graphe dont le graphe est :
* *
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* *
|
*
Application en ethnologie [modifier]
Dans Les Structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein[1].
Notes [modifier]
- Paul Jolissaint, Notes de lecture : Groupes et ethnologie : version HTML ou version PDF.
