Groupe de Klein

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En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non trivial qui ne soit pas cyclique.

Définition

Il a quatre éléments, et tous sauf l'élément neutre ont un ordre égal à 2.

Propriétés

• C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$, produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même.

Il est aussi isomorphe au groupe diédral D2={e,c,b,bc} d'ordre 4.

Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe).

Si on note V = { 0, e, f, g } le groupe de Klein avec une loi additive « + » , alors cette loi présente la table d'opération suivante :

+	0	e	f	g
0	0	e	f	g
e	e	0	g	f
f	f	g	0	e
g	g	f	e	0

On constate que la loi du groupe de Klein est involutive :   ∀ x ∈ V, x + x = 0

• Le groupe de Klein peut être muni d'une structure de corps, le corps fini à quatre éléments, par l'ajout d'une seconde loi multiplicative, d'élément nul 0, d'élément neutre e, distributive par rapport à la loi additive et dont la table est :

x	0	e	f	g
0	0	0	0	0
e	0	e	f	g
f	0	f	g	e
g	0	g	e	f

• On peut enfin considérer le groupe de Klein en termes de groupe d'automorphismes de graphe dont le graphe est :

  *   *
  |   |
  *   *
      |
      *

Application en ethnologie

Dans Les Structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein.