Groupe de Klein

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En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non trivial qui ne soit pas cyclique.

Définition[modifier | modifier le code]

Il a quatre éléments, et tous sauf l'élément neutre ont un ordre égal à 2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, produit direct du groupe d'ordre 2 par lui-même.
  • Il est aussi isomorphe au groupe diédral d'ordre 4.
  • Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe). Si l'on note V = { 0, e, f, g } le groupe de Klein avec une loi additive « + » , alors cette loi a pour table :
+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0
On constate que la loi du groupe de Klein est involutive :   ∀ xV, x + x = 0
  • Le groupe de Klein peut être muni — par l'ajout d'une seconde loi, notée multiplicativement et distributive par rapport à la loi additive — d'une structure de corps, le corps fini à quatre éléments, d'élément nul 0. Si l'on choisit e comme élément neutre pour la multiplication, sa table est :
× 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f



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Application en ethnologie[modifier | modifier le code]

Dans Les Structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein[1].

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Paul Jolissaint, Notes de lecture : Groupes et ethnologie : version HTML ou version PDF.