Formule du multinôme de Newton

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En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière n d'une somme d'un nombre fini m de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour m=2 ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient m et n deux entiers naturels et x_1,x_2,\dots,x_m des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces m éléments commutent deux à deux). Alors,

(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_m)^n 
 = \sum_{k_1+k_2+k_3+\ldots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_m}
  x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \dots x_m^{k_m}.

La somme porte sur toutes les combinaisons d'indices entiers naturels k_1,\dots,k_m tels que k_1+k_2+\dots+k_m = n, certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices \vec k de dimension m dont le module \left|\vec k\right| = \sum\nolimits_{i=1}^m k_i est égal à n :

\left( \sum_{i=1}^m x_i \right)^n = \sum_{\left|\vec k\right|=n}
{n\choose\vec k} \prod_{i=1}^m x_i^{k_i}

Les nombres

{n \choose k_1, k_2, k_3, \ldots, k_m} = {n\choose\vec k} = \frac{n!}{k_1! k_2! k_3! \dots k_m!} = \frac{n!}{\prod_{i=1}^m k_i!}

sont appelés les coefficients multinomiaux.

Le coefficient multinomial {n \choose k_1, k_2, k_3, \ldots, k_m} est également le nombre de "partitions ordonnées" d'un ensemble de n éléments en m ensembles de cardinaux respectifs k_1,k_2,\ldots,k_m. Plus formellement :


{n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}=
\operatorname{Card}\left\{I\in \mathcal P(\{1,\ldots,n\})^m |
\forall i,j \quad \operatorname{Card}(I_i)=k_i~\text{et}~(i\ne j\Rightarrow I_i\cap I_j=\emptyset) \right\}.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Une preuve directe est d'utiliser la dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiaux.

Une autre est de raisonner par récurrence sur m, en utilisant la formule du binôme.

(i) Pour m = 1, les deux côtés valent x_1^n.

(ii) Supposons le théorème vrai au rang m. Alors

(x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+(x_m+x_{m+1}))^n
   = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1})^K

par hypothèse de récurrence. Puis en appliquant le binome de Newton au dernier facteur, il vient que,

 = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum_{k_m+k_{m+1}=K}{K\choose k_m,k_{m+1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}
 = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}

ce qui termine la récurrence. Pour la dernière étape, on a utilisé le fait que

{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K}{K\choose k_m,k_{m+1}} = {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}},

car

 \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m-1}!K!} \frac{K!}{k_m! k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m+1}!}

Exemple[modifier | modifier le code]


\begin{align}
(a+b+c)^3&=(a^3b^0c^0+a^0b^3c^0+a^0b^0c^3)+3(a^2b^1c^0+a^1b^2c^0+a^0b^1c^2+a^0b^2c^1+a^1b^0c^2+a^2b^0c^1)+6a^1b^1c^1\\
                &=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+bc^2+b^2c+ac^2+a^2c)+6abc.
\end{align}

Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule du trinôme de Newton