Polynôme symétrique

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En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif unifère. Un polynôme Q(T1,...,Tn) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1,...,n}, l'égalité suivante est vérifiée :

Q(T_1,\dots,T_n)=Q(T_{s(1)},\dots,T_{s(n)}).

Pour n = 1, tout polynôme est symétrique. Pour n = 2, le polynôme T1+T2 est symétrique alors que le polynôme T1+T22 ne l'est pas.

Polynômes symétriques élémentaires[modifier | modifier le code]

Les polynômes symétriques forment une sous-A-algèbre associative unifère de A[T1,...,Tn]. Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires comme on verra ci-après.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour 1 ≤ kn, le ke polynôme symétrique élémentaire σk(T1, ...,Tn) est défini par :

\prod_{i=1}^n (X-T_i)=X^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma_k(T_1,\dots,T_n)X^{n-k}.

D'après cette définition, si un polynôme unitaire R(X) de degré n en une indéterminée admet une factorisation

R(X)=X^n+\sum_{k=1}^n a_kX^{n-k}=\prod_{i=1}^n(X-z_i)

en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme R sont donnés comme fonctions symétriques des racines zi, c'est-à-dire :

a_k=(-1)^k\sigma_k(z_1,\dots,z_n).

Une définition équivalente des polynômes symétriques élémentaires est :

\sigma_k(T_1, \cdots, T_n)=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}T_{i_1}\times T_{i_2}\times \cdots \times T_{i_k}.

Ou plus formellement, en désignant par S_k l'ensemble des applications strictement croissantes de l'ensemble {1,2,...,k} dans l'ensemble {1,2,...,n} :

\sigma_k(T_1, \cdots, T_n)=\sum_{s\in S_k}\prod_{i=1}^kT_{s(i)}.

En particulier,

\sigma_1(T_1,\dots,T_n)=T_1+\dots+T_n

et

\sigma_n(T_1,\dots,T_n)=T_1\times\dots\times T_n.

Cas n=2[modifier | modifier le code]

\sigma_1 = T_1 + T_2 ~,
\sigma_2 = T_1 \times T_2 ~,

Cas n=3[modifier | modifier le code]

\sigma_1 = T_1 + T_2 + T_3~,
\sigma_2 = T_1 \times T_2 + T_1 \times T_3 + T_2 \times T_3~,
\sigma_3 = T_1 \times T_2 \times T_3 ~,

Cas n=4[modifier | modifier le code]

\sigma_1 = T_1 + T_2 + T_3 + T_4~,
\sigma_2 = T_1 \times T_2 + T_1 \times T_3 + T_1 \times T_4 + T_2 \times T_3 + T_2 \times T_4 + T_3 \times T_4~,
\sigma_3 = T_1 \times T_2 \times T_3 + T_1 \times T_3 \times T_4 + T_2 \times T_3 \times T_4 + T_1 \times T_2 \times T_4~,
\sigma_4 = T_1 \times T_2 \times T_3 \times T_4~.

Théorème[modifier | modifier le code]

Pour tout polynôme symétrique Q(T1,...,Tn) à coefficients dans A, il existe un unique polynôme P en n indéterminées à coefficients dans A tel que

Q(T_1,\ldots,T_n)=P(\sigma_1(T_1,\ldots,T_n),\ldots,\sigma_n(T_1,\ldots,T_n)).

Plus formellement : le morphisme d'algèbres

A[X_1,\ldots,X_n]\to A[T_1,\ldots,T_n]
P(X_1,\ldots,X_n)\mapsto P(\sigma_1(T_1,\ldots,T_n),\ldots,\sigma_n(T_1,\ldots,T_n))

est injectif, et a pour image la sous-algèbre des polynômes symétriques.

Ou encore : les polynômes symétriques élémentaires engendrent la sous-algèbre unifère des polynômes symétriques, et sont algébriquement indépendants sur A. Ce résultat est parfois appelé le théorème fondamental des polynômes symétriques.

Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton si A contient le corps des nombres rationnels.

Référence[modifier | modifier le code]

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chapitre V, § 9

Articles connexes[modifier | modifier le code]