Fonction de von Mangoldt

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En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction de von Mangoldt, écrite de manière conventionnelle \Lambda(n)\,, est définie par

\Lambda(n) = \begin{cases} \ln p & \text{si }n=p^k \text{ pour un nombre premier } p \mbox{ et un entier } k \ge 1, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

Elle est un exemple d'une importante fonction arithmétique qui n'est ni multiplicative ni additive.

La fonction de von Mangoldt satisfait l'identité[1]

\ln n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,

où la somme est prise sur tous les entiers d qui divisent n.

La fonction sommatoire de von Mangoldt, \psi\,(x), aussi connue comme la fonction de Tchebychev, est définie comme

\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).

von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour \psi(x)\,, impliquant une somme sur les zéros non-triviaux de la fonction zêta de Riemann[2]. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers.

Séries de Dirichlet[modifier | modifier le code]

La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, ainsi que la fonction zêta de Riemann. En particulier, on a

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

pour \Re(s) > 1. La dérivée logarithmique est alors

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Celles-ci sont des cas particuliers d'une relation plus générale de séries de Dirichlet[1]. Si on a

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

pour une fonction complètement multiplicative f(n), et si la série converge pour \Re(s) > \sigma_0, alors

\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

converge pour \Re(s) > \sigma_0.

La transformation de Mellin[modifier | modifier le code]

La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :

\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx

qui reste vraie pour \Re(s)>1\,.

Série exponentielle[modifier | modifier le code]

Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'aux premiers 10^9 termes

Hardy et Littlewood ont examiné les séries[3]

F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}

et ont démontré que

F(y)=O\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right).

Curieusement, ils ont aussi montré que cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes. En particulier, il existe une valeur K>0 telle que

F(y)< -\frac{K}{\sqrt{y}} et F(y)> \frac{K}{\sqrt{y}}

infiniment souvent. Le graphe sur la droite indique que ce comportement n'est pas évident sur les premiers nombres : les oscillations ne sont pas aperçues clairement jusqu'à ce que la série soit sommée par excès jusqu'à 100 millions de termes, et sont seulement visibles lorsque y<10^{-5}.

La moyenne de Riesz[modifier | modifier le code]

La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n)
= - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} 
\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + 
\sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}
+\sum_n c_n \lambda^{-n}.

Ici, \lambda et \delta sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre c>1. La somme sur \rho est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série \sum_n c_n \lambda^{-n} converge pour \lambda > 1.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Mangoldt function » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b (en) Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, New York, Springer-Verlag, 1976, theorem 2.10
  2. (en) [PDF] Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
  3. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196