Fonction additive (arithmétique)

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En théorie des nombres, une fonction additive f est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs) telle que :

Pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, f(ab) = f(a) + f(b)

(en particulier, f(1) = 0).

Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque :

Pour tous entiers a et b > 0, f(ab) = f(a) + f(b),

même si a et b ne sont pas premiers entre eux.

En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :

Pour tous éléments a et b du domaine de définition de f, f(a + b) = f(a) + f(b).

Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.

Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemples de fonctions complètement additives 
Ω(4) = 2 ;
Ω(24) = Ω(23 ⋅ 31) = 3 + 1 = 4 ;
Ω(27) = 3 ;
Ω(144) = Ω(24 ⋅ 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6 ;
Ω(2 000) = Ω(24 ⋅ 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7 ;
Ω(2 001) = 3 ;
Ω(2 002) = 4 ;
Ω(2 003) = 1 ;
Ω(54 032 858 972 279) = 3 ;
Ω(54 032 858 972 302) = 6 ;
Ω(20 802 650 704 327 415) = 7.
  • la fonction a0 (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) qui à un entier naturel non nul n associe la somme avec répétition des facteurs premiers de n  :
    \text{si }n = \prod_{i=1}^m p_i^{\gamma_i},\text{ alors }a_0(n)=\sum_{i=1}^m \gamma_ip_i.
    Par exemple (suite A001414 de l'OEIS) :
a0(4) = 4 ;
a0(20) = a0(22 ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9 ;
a0(27) = 9 ;
a0(144) = a0(24 ⋅ 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14 ;
a0(2000) = a0(24 ⋅ 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23 ;
a0(2001) = 55 ;
a0(2002) = 33 ;
a0(2003) = 2003 ;
a0(54 032 858 972 279) = 1240658 ;
a0(54 032 858 972 302) = 1780417 ;
a0(20 802 650 704 327 415) = 1240681.
Exemples de fonctions qui sont seulement additives 
  • la fonction ω, qui associe à un entier naturel n le nombre total de nombres premiers distincts qui divisent n (elle est donc majorée par Ω). Par exemple (suite A001221 de l'OEIS) :
ω(4) = 1 ;
ω(27) = 1 ;
ω(144) = ω(24 ⋅ 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2 ;
ω(2000) = ω(24 ⋅ 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2 ;
ω(2001) = 3 ;
ω(2002) = 4 ;
ω(2003) = 1 ;
ω(54 032 858 972 279) = 3 ;
ω(54 032 858 972 302) = 5 ;
ω(20 802 650 704 327 415) = 5.
  • la fonction a1 (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) qui à un entier n associe la somme de ses diviseurs premiers distincts (elle est de même majorée par a0). Par exemple (suite A008472 de l'OEIS) :
a1(4) = 2 ;
a1(20) = 2 + 5 = 7 ;
a1(27) = 3 ;
a1(144) = a1(24 ⋅ 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5 ;
a1(2 000) = a1(24 ⋅ 53) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7 ;
a1(2 001) = 55 ;
a1(2 002) = 33 ;
a1(2 003) = 2003 ;
a1(54 032 858 972 279) = 1238665 ;
a1(54 032 858 972 302) = 1780410 ;
a1(20 802 650 704 327 415) = 1238677.

Fonctions multiplicatives[modifier | modifier le code]

À partir de n'importe quelle fonction additive ƒ, il est facile de créer une fonction multiplicative g en définissant par exemple g par :

\forall n\in\mathbb{N}^* \quad g(n)=2^{f(n)}.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Additive function » (voir la liste des auteurs)
  • Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, p. 97-108) (MSC (2000) 11A25)

Articles connexes[modifier | modifier le code]