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Si f ∈ H2(𝔻), la formule précédente montre que est une fonction croissante, bornée donc existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à . Réciproquement si , pour chaque , on a, par croissance de :
En passant à la limite quand tend vers puis quand tend vers , on obtient la deuxième assertion.
On considère l'application définie par . Celle-ci est bien définie par
définition de H2(𝔻), elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer
qu'elle est surjective.
Soit , est bornée donc la série entière f définie par a un rayon de convergence supérieur
ou égal à 1, en particulier et . est donc bien surjective.
Pour tout f ∈ H2(𝔻) et pour tout z dans 𝔻, on a :
Démonstration
On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de f en 0. On a alors, pour tout z dans 𝔻 :
.
Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H2(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :
En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.
Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.
Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) qui converge en norme vers f alors (fn) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.
Le cas général
Définition
Pour 0 < p < + ∞, on définit l'espace de Hardy Hp(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :