Espace de Hardy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace H2(𝔻)[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement de Taylor en 0 sur le disque unité :

On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H2(𝔻) si la suite appartient à 2 . Autrement dit on a :

On définit alors la norme de f par :

Exemple[modifier | modifier le code]

La fonction appartient à H2(𝔻), par convergence de la série (série de Riemann convergente).

Une autre expression de la norme[modifier | modifier le code]

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1 on définit :

  • la fonction r ↦ M2(f,r) est croissante sur [0,1[.
  • f∈H2(𝔻) si et seulement si et on a :

Quelques propriétés de l'espace H2(𝔻)[modifier | modifier le code]

  • Pour tout f∈H2(𝔻) et pour tout z dans 𝔻 on a :

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H2(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) qui converge en norme vers f alors (fn) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Pour 0 < p < + ∞ on définit l'espace de Hardy Hp(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :

On définit alors :

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour p ≥ 1, Hp(𝔻) est un espace de Banach.
  • Soit f∈Hp(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) :
    existe et l'application f ↦ f* est une isométrie de Hp(𝔻) sur le sous-espace de où :
  • On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f∈Hp(𝔻), on a :

Factorisation de Beurling[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Noyau de Poisson