Espace UMD

En analyse fonctionnelle et calcul stochastique, un espace UMD (en anglais : unconditional martingal difference space) est un espace de Banach dans lequel toutes les séquences de différence de martingale de toute martingale finie sont des séries converge inconditionnellement. De tels espaces ont bon nombre des bonnes propriétés d'un espace de Hilbert, et les séquences de différence de martingale partagent les propriétés des séquences orthogonales. On dit que les espaces de Banach ont la propriété UMD s'ils sont des espaces UMD.

Description

Bien que l'espace UMD ait une définition probabiliste, la propriété UMD s'avère être équivalente à certaines propriétés analytiques, comme le fait que la transformation de Hilbert est restreinte à $L^{p}$.

Pour définir la notion d'espace UMD, on introduit d'abord l'espace UMD_p pour un certain $p\in (1,\infty )$ . Un résultat profond de Maurey et Pisier dit alors qu'un espace de Banach qui est un espace UMD_p pour un $p$ donné est aussi un espace UMD$_{q}$ pour tous les autres $q\in (1,\infty )$. On ne parle donc souvent que d'espaces UMD.

À l'aide des espaces UMD, l'isométrie d'Itō peut être étendue aux espaces de Banach et par conséquent une théorie de l'intégration stochastique par rapport à un mouvement brownien pour les variables aléatoires sur un espace de Banach.

Soient $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ un espace de probabilité avec filtration $\mathbb {F}$ et $(E,\|\cdot \|_{E})$ un espace de Banach. Par $X\in L^{p}(\Omega ,E)$ nous entendons $\mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]<\infty$.

Concepts de base

• Une série $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ est appelée inconditionnellement convergente, si pour chaque suite $\left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ avec $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},$ la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$

converge.

• Soit $(M_{n})_{n\in N}$ une martingale à valeurs en $E$ et $\mathbb {F}$-adapté. $(M_{n})_{n\in N}$ est une $L^{p}$-martingale si $M_{n}\in L^{p}(\Omega ,E)$ pour tout $n$, cela signifie

$\max \limits _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} \left[\|M_{n}\|_{E}^{p}\right]<\infty$.

• Pour une martingale $(M_{n})_{n\in N}$ la suite de différence de martingale $(dM_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est définie comme

$dM_{n}:=M_{n}-M_{n-1}$

avec $M_{0}=0$. Si $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une $L^{p}$-martingale, alors $(dM_{n})_{n\in N}$ est appelé une « suite de différence de $L^{p}$-martingale ».

Définition

Soit $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite avec $\varepsilon _{n}\in \{-1,1\}$ pour tout $n\in \mathbb {N}$.

Un espace de Banach $E$ est un UMD_p-espace si pour un certain $p\in (1,\infty )$ et une constante $\beta$, il existe telle que pour toutes les suites de différence de $L^{p}$-martingales $(dM_{n})_{n=1}^{N}$ à valeurs en $E$ avec $N\in \mathbb {N}$ et tout $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ l'inégalité suivante tient

$\mathbb {E} \left[\left\|\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}\right\|_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[\left\|\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}\right\|_{E}^{p}\right].$

p-indépendance

Si $X$ est un espace UMD_p pour un $p\in (1,\infty )$, alors $X$ également un espace UMD_q pour tout $q\in (1,\infty )$.

Propriétés

• Tous les espaces UMD sont des réflexifs. Ils sont même super-réflexifs.
• Tous les espaces UMD sont K-convexes.

Relation avec les opérateurs intégraux singuliers

Une caractérisation purement analytique des espaces UMD via la transformation de Hilbert vient de Donald Burkholder et Bourgain. Soit $E$ un espace UMD arbitraire et $\mathbb {T}$ le tore. Ensuite, ils ont prouvé que les espaces UMD_p sont précisément les espaces sur lesquels :

• La transformation de Hilbert est bornée à $L^{p}(\mathbb {R} ,E)$ ;
• La projection de Riesz est bornée à $L^{p}(\mathbb {T} ,E)$ ;

Et donc elles sont aussi bornées pour tout $p\in (1,\infty )$.

Exemples

Les espaces suivantes, entre autres, des espaces UMD :

• Tous les espaces de dimension finie ;
• Tous les espaces de Hilbert ;
• Les espaces $L^{p}$ pour $1<p<\infty$ ;
• Les espaces de Sobolev pour $1<p<\infty$ ;
• Les classes de Schatten pour $1<p<\infty$ ;
• Espaces de Besov réflexif ;
• Espaces de Birnbaum-Orlicz réflexif.

Espaces sans propriété UMD

• Tous les espaces non réflexifs ($L^{1}(S)$, $C(S)$ etc. pour un espace σ-fini $(S,\Sigma ,\mu )$)

Notes et références

Bibliographie

• (en) Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar et Lutz Weis, Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory, Springer International Publishing, 2016 (ISBN 978-3-319-48520-1, DOI 10.1007/978-3-319-48520-1_4), p. 267-372.
• (en) Gilles Pisier, Martingales in Banach Spaces, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2016 (DOI 10.1017/CBO9781316480588), p. 151-217.